Question

[Nguyễn Mai]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh S_AHG=2.S_AGO

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

Trước tiên ta chứng minh \(HG=2GO\).

Gọi giao điểm của AM và OH là G'; M là trung điểm của BC.

Xét tứ giác BKCH có CH // BK ( cùng vuông góc với AB ) và BH // CK ( cùng vuông góc với AC ) do đó BKCH là hình bình hành.

=> HK giao BC tại trung điểm mỗi đường, mà M là trung điểm của BC nên M đồng thời là trung điểm của HK.

Xét tam giác AHK có O là trung điểm của AK, M là trung điểm của HK => OM là đường trung bình của tam giác AHK

=> \(\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)

Vì OM // AH nên theo định lý Ta-lét ta có:

\(\frac{AG'}{G'M}=\frac{HG'}{G'O}=\frac{AH}{OM}=2\) hay \(\frac{AG'}{G'M}=2\)

Đồng thời vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{AG}{GM}=2\)

Do đó \(\frac{AG'}{G'M}=\frac{AG}{GM}\) \(\Rightarrow G\equiv G'\)

Do đó: \(\frac{HG}{GO}=2\) hay \(HG=2GO\) (1)

Kẻ đường cao \(h_a\) từ A đến OH

Ta có \(S_{AHG}=\frac{1}{2}\cdot h_a\cdot HG\) và \(S_{AGO}=\frac{1}{2}\cdot h_a\cdot GO\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(S_{AHG}=2S_{AGO}\) ( đpcm )