Cho đa thức P(x) bậc 3 có hệ số bậc cao nhất bằng 1 thỏa mãn:
P(2018)=2019 ; P(2019)=2020. Tính P(2020) - P(2017)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
17 tháng 4 2020
Đặt \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow Q\left(2016\right)=Q\left(2017\right)=0\)
Vì P(x) là đa thức bậc ba có hệ số bậc cao nhất là 1 nên Q(x) cũng là đa thức bậc ba có hệ số bậc cao nhất là 1
\(\Rightarrow\)Q(x) có dạng \(\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-a\right)\)(a là hằng số)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-a\right)+\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-3P\left(2018\right)=-6\left(2018-a\right)-6057\\P\left(2019\right)=6\left(2019-a\right)+2020\end{cases}}\)
\(\Rightarrow-3P\left(2018\right)+P\left(2019\right)=6\left(2019-a+a-2018\right)-4037\)
\(=6.1-4037=-4031\)
Vậy \(-3P\left(2018\right)+P\left(2019\right)=-4031\)
KN
17 tháng 4 2020
Đặt \(K\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow K\left(2016\right)=K\left(2017\right)=K\left(2018\right)=K\left(2019\right)=0\)
Vì P(x) có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên K(x) cũng có hệ số của bậc cao nhất bằng 1
Do đó K(x) có dạng \(\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)
Lúc đó \(P\left(x\right)=\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)
\(+\left(x+1\right)\Rightarrow P\left(2020\right)=2045⋮5\)
Vậy P(2020) là một số tự nhiên chia hết cho 5 (đpcm)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
23 tháng 7 2021
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)P\left(x\right)-x\).
Khi đó \(f\left(k\right)=0\)với mọi \(k=0,1,2,...,2018\)mà \(P\left(x\right)\)có bậc \(2018\)nên \(f\left(x\right)\)có bậc \(2019\)
mà \(f\left(x\right)=0\)tại \(2019\)giá trị nên \(f\left(x\right)=ax\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2018\right)\).
Với \(x=-1\): \(a.\left(-1\right)\left(-2\right)...\left(-2019\right)=\left(-1+1\right)P\left(-1\right)-\left(-1\right)\)
\(\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2019!}\).
\(P\left(2019\right)=\frac{f\left(2019\right)+2019}{2020}=\frac{-1+2019}{2020}=\frac{1009}{1010}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2020
Lời giải:
Sử dụng công thức nội suy Newton:
$f(x)=a_1+a_2(x-2017)+a_3(x-2017)(x-2018)+a_4(x-2017)(x-2018)(x-t)$ với $a_4$ nguyên dương, $a_1,a_2, a_3, t$ bất kỳ.
Ta có:
$f(2017)=a_1=2018$
$f(2018)=a_1+a_2=2019$
$\Rightarrow a_2=1$. Thay giá trị $a_1,a_2$ vào lại $f(x)$ thì:
$f(x)=x+1+a_3(x-2017)(x-2018)+a_4(x-2017)(x-2018)(x-t)$
Do đó:
$f(2019)=2020+2a_3+2a_4(2019-a)$
$f(2016)=2017+2a_3+2a_4(2016-a)$
$\Rightarrow f(2019)-f(2016)=3+6a_4\vdots 3$ với mọi $a_4$ nguyên dương.
Cũng dễ thấy $3+6a_4>3$ với mọi $a_4$ nguyên dương
Do đó $f(2019)-f(2016)$ là hợp số (đpcm)
HD
0
NA
Nguyễn An Ninh
VIP
11 tháng 5 2023
Xét g(x) = f(x) - x^2 -2
g(x) có bậc 4 và g(1)=g(3)=g(5)=0
Vậy g(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+a) vì f có hệ số cao nhất là 1
=> f(x) = (x-1)(x-3) (x-5)(x+a) + x^2 +2
f(-2)=-105(a-2)+6=216-105a
f(6) 15(a+6) + 38 = 128 +15a =
f(-2)+7f(6)=216 - 105a + 896 + 105a = 1112
# Ninh OSS