Question

[Fuijsaka Ariko]

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:

a) AC=EB và AC//BE

b) Gọi I là 1 điểm trên AC; K là 1 điểm trên EB sao cho AI=EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng

c) Từ C kẻ EH vuông góc với BC (H thuộc BC). Biết góc HBE=50^o; góc MEB=25^o. Tính góc HEM và góc BME

Answer 1

[Hiiiii~]

a)

Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta EBM\), có:

\(BM=CM\) (M là trung điểm của BC)

\(AM=ME\) (gt)

\(\widehat{CMA}=\widehat{BME}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta ACM=\Delta EBM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AC=EB\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

Có:

\(\widehat{CAM}=\widehat{BEM}\) (\(\Delta ACM=\Delta EBM\))

\(\Rightarrow\) AC song song BE (Vì có hai góc so le trong bằng nhau)

\(\Rightarrowđpcm\)

b)

Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta EKM\), có:

\(AI=EK\) (gt)

\(\widehat{CAM}=\widehat{BEM}\) (\(\Delta ACM=\Delta EBM\))

\(AM=ME\) (gt)

\(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta EKM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{EMK}\) (Hai góc tương ứng)

Mà: \(\widehat{AMK}+\widehat{EMK}=180^0\) (Hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMK}+\widehat{AMI}=180^0\)

\(\Rightarrow\) Ba điểm I, M, K thẳng hàng (Vì cùng nằm trên góc bẹt)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

Có: \(\widehat{BHE}+\widehat{HBE}+\widehat{HEB}=180^0\) (Tổng ba góc của một tam giác)

Hay \(90^0+50^0+\widehat{HEB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HEB}=180^0-90^0-50^0=40^0\)

Mà: \(\widehat{MEB}< \widehat{HEB}\left(25^0< 40^0\right)\)

\(\Leftrightarrow\) EM là tia nằm giữa hai tia EB và EH

\(\Leftrightarrow\widehat{BEM}+\widehat{HEM}=\widehat{HEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{HEM}=\widehat{HEB}-\widehat{MEB}=40^0-25^0=15^0\)

Có: \(\widehat{MBE}+\widehat{MEB}+\widehat{BME}=180^0\) (Tổng ba góc của một tam giác)

Hay \(50^0+25^0+\widehat{BME}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BME}=180^0-50^0-25^0=105^0\)

Vậy \(\widehat{HEM}=15^0\) và \(\widehat{BME}=105^0\)

Chúc bạn học tốt!