Cho tam giác ABC với Ia là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi \(\omega\) là đường tròn bất kì đi qua A,Ia và cắt AB,AC kéo dài lần lượt ở X và Y. Gọi S,T là các điểm trên đoạn IaB; IaC sao cho AXIa = BTIa và AYIa = CSIa. BT và CS cắt nhau tại K. Các đường thẳng KIa, TS cắt nhau tại Z. Chứng minh X,Y,Z thẳng hàng ?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Gọi G là trung điểm AH
Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp
Tương tự \(\Rightarrow CDHE,AFDC\) nội tiếp
Vì \(\Delta AFH\) vuông tại F có G là trung điểm AH \(\Rightarrow GA=GH=GF\)
Tương tự \(\Rightarrow GE=GA=GH\Rightarrow GE=GF=GA=GH\)
\(\Rightarrow G\) là tâm (AEHF)
Ta có: \(\angle FEH=\angle FAH=\angle FCD=\angle HED\)
\(\Rightarrow\angle FED=2\angle FEH=2\angle FAH=\angle FGD\Rightarrow FGED\) nội tiếp
\(\Rightarrow\left(S\right)\) đi qua trung điểm AH
2) EFMN nội tiếp \(\Rightarrow\angle FNM=\angle FEM=\angle FCB\) (BCEF nội tiếp)
\(\Rightarrow MN\parallel BC\) mà \(BC\bot AD\Rightarrow MN\bot AD\)
MDEG nội tiếp \(\Rightarrow\angle MDG=\angle MEG=\angle HEG=\angle GHE=\angle MHD\)
\(\Rightarrow\Delta MHD\) cân tại M có \(MN\bot HD\Rightarrow MN\) là trung trực HD
mà \(T\in MN\Rightarrow\angle MHT=\angle MDT=\angle MED=\angle FEM\)
\(\Rightarrow HT\parallel EF\)
Gọi giao điểm khác K của 2 đường tròn (BSK) và (CTK) là L.
Ta có: ^KSIa + ^KTIa = ^AYIa + ^AXIa = 1800 => Tứ giác SKTIa nội tiếp
Khi đó: Áp dụng ĐL Miquel vào \(\Delta\)BCIa ta có B,L,C thẳng hàng và LZ là phân giác ^SLT
Xét \(\Delta\)LST: Phân giác trong LZ => \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{LS}{LT}\) (ĐL đường phân giác trong tam giác)
Ta thấy: ^CTL = ^CKL = ^CBIa => Tứ giác BLTIa nội tiếp => ^CIaL = ^CBT
Do ^BCT= ^YCIa;^CTB = ^CSIa = ^AYIa nên ^CIaL = ^CIaY. Từ đó: \(\Delta\)CLIa = \(\Delta\)CYIa (g.c.g)
=> \(\Delta\)CLT = \(\Delta\)CYT (c.g.c) => LT = YT. Tương tự: LS = XS. Từ đấy kết hợp với \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{LS}{LT}\) (cmt)
Suy ra: \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{XS}{YT}\). Ta lại có: ^XSZ = ^IaSX + ^IaSZ = 1800 - ^LKB + ^IaKT = ^LKT - ^IaKT = ^LKIa
= ^CKL + ^CKZ = ^CTL + ^CTZ = ^CTY + ^CTZ = ^YTZ. Do đó: \(\Delta\)SZX ~ \(\Delta\)TZY (c.g.c)
=> ^SZX = ^TZY. Mà S,Z,T thẳng hàng nên X,Y,Z thẳng hàng (đpcm).