Question

[Minh Nguyệt]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (-10; 10) để hàm số y = f(x) = \(\left|3x^4-4x^3-6mx^2+12mx\right|\) có đúng 3 điểm cực trị

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(g\left(x\right)=3x^4-4x^3-6mx^2+12mx\)

\(g'\left(x\right)=12x^3-12x^2-12mx+12m=0\)

\(\Leftrightarrow12x^2\left(x-1\right)-12m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow12\left(x^2-m\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2=m\end{matrix}\right.\)

Xét \(g\left(x\right)=0\Leftrightarrow x\left(3x^3-4x^2-6mx+12m\right)=0\)

- Nếu \(m=0\Rightarrow g'\left(x\right)=0\) có 1 nghiệm bội lẻ, \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm bội lẻ \(\Rightarrow f\left(x\right)\) có 3 cực trị (thỏa mãn)

- Nếu \(m=\dfrac{1}{6}\Rightarrow g'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm bội lẻ, \(g\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb nhưng chỉ có 1 nghiệm \(x=1\) trùng với \(g'\left(x\right)=0\) nên hàm có 5 cực trị (ktm)

- Nếu  \(m=1\Rightarrow g'\left(x\right)=0\) có 1 nghiệm bội lẻ, \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm bội lẻ (thỏa mãn)

- Nếu \(m< 0\Rightarrow g'\left(x\right)=0\) có 1 nghiệm bội lẻ \(x=1\)

Khi đó hàm có 3 cực trị khi \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm bội lẻ (hiển nhiên từ các TH này thì \(g\left(x\right)=0\) ko thể có nghiệm \(x=1\) do đã loại trừ từ TH \(m=\dfrac{1}{6}\))

\(\Leftrightarrow3x^3-4x^2-6mx+12m=0\) có đúng 1 nghiệm

\(\Leftrightarrow3x^3-4x^2=6m\left(x-2\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{3x^3-4x^2}{6\left(x-2\right)}\) (do \(x=2\) ko là nghiệm)

Khảo sat \(h\left(x\right)=\dfrac{3x^3-4x^2}{6\left(x-2\right)}\) ta được \(y=m\) cắt \(y=h\left(x\right)\) tại đúng 1 điểm khi: \(\left[{}\begin{matrix}m< 0\\\dfrac{1}{6}< m< \dfrac{64}{9}\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 0\)

- Nếu \(m>0;m\ne\left\{\dfrac{1}{6};1\right\}\) \(\Rightarrow g'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb

Mà \(g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm bội lẻ \(x=0\)

\(\Rightarrow\) Hàm có 3 cực trị khi và chỉ khi: 

TH1: \(3x^3-4x^2-6mx+12m=0\) vô nghiệm (vô lý do hàm bậc 3 luôn có nghiệm)

Th2: \(3x^3-4x^2-6mx+12m=0\) (1) có 3 nghiệm đều trùng với nghiệm của \(g'\left(x\right)=0\) (vô lý do \(m\ne\dfrac{1}{6}\) nên nếu (1) có nghiệm thì nó luôn có nghiệm khác 1)

Kết luận: \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m\le0\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Minh Nguyệt]

lúc đầu mk giải câu này theo kiểu xét 3 trường hợp là m < 0; 1 nằm giữa hai nghiệm kia; 1 nằm bên phải 2 nghiệm kia. Không biêt cách này có đúng không mà tính ra kết quả là 10 giá trị ???