\(x^3+3xy+y^3-1=\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+2xy+y^2-1\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2+x+y+1\right)\)

\(x^3+3xy+y^3-1\)

\(=\left(x+y\right)^3-1-3x^2y-3xy^2+3xy\)

\(=\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2+2xy+x+y+1-3xy\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\)

dia chi ban vua truy cap khong tim thay

Vì xyz = 1 nên ta có thể đặt \(x=\frac{a^2}{bc};y=\frac{b^2}{ac};z=\frac{c^2}{ab}\left(a,b,c>0,a^2\ne bc,b^2\ne ac,c^2\ne ab\right)\)

Khi đó bất đẳng thức tương đương với

\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)

Mà ta có

\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\)

Ta cần chứng minh

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Với các bài toán tìm max, min 2 biến kiểu như thế này, em hay cố gắng nhân M lên n lần để tạo thêm được các số hạng, sang đó ghép tạo thành các bình phương.

Cách làm như sau:

\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8004\)

\(=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-6\left(2a+b\right)+3\left(b^2-2b\right)+8004\)

\(=\left(2a+b\right)^2-6\left(2a+b\right)+9+3\left(b^2-2b+1\right)+7992\)

\(=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7992\ge7992\)

Vậy 4M min = 7992, vây M min = 1998.

Vậy min M = 1998 khi \(\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

bn tk mk mk tk lại bn nha

BC=10cm

HC=5cm

AH=5cm

GIẢI 

áp dụng định lí pi-ta-go vào trong tam giác vuông ABC 

ta có : \(BC^2=AB^2+AC^2\)

   hay \(BC^2=6^2+8^2\)

   \(\Rightarrow BC^2=100\)

 \(\Rightarrow BC=10cm\)

ta có : \(HC=BC-BH\)

    \(\Rightarrow HC=10-5=5cm\)

áp dụng hệ thức lượng vào trong tam giác vuông ABC 

ta có : \(AH^2=BH.HC\)

 \(\Rightarrow AH^2=5.5\)

 \(\Rightarrow AH^2=25\)

\(\Rightarrow AH=5cm\)

vậy : \(BC=10cm\)

        \(HC=5cm\)

        \(AH=5cm\)

Không ý t nói là nếu \(\hept{\begin{cases}a^2=0,5\\b^2=0,5\\c^2=2\end{cases}}\)

Thì \(a\left(a-1\right)2=\sqrt{0,5}\left(\sqrt{0,5}-1\right)2=-0,414\ge0\)là sai ấy

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}>3\)

Ta thấy 0 < a,b,c < 2

Ta có:

\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\) ⇔ a( a−1)² \(\ge\)0

Tương tự với các cái tương tự, ta được:

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu = khi a=b=c=1

đúng không ?

a. Do hai đường phân giác trong và ngoài của góc B vuông góc với nhau nên AMBN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)

Tương tự ACPQ cũng là hình chữ nhật.

b. Do câu a, AMBN là hình chữ nhật nên MN và BA cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vì thế M, N, E thẳng hàng. Tương tự P, F,Q thẳng hàng.

Do BM là phân giác góc B nên \(\widehat{MBC}=\widehat{PMB}\left(=\widehat{EBM}\right)\). Vậy EM // BC. Dễ thấy EF // BC nên E, M, F thẳng hàng.

Tương tự Q, P ,E thẳng hàng. 

Vậy M, N, P, Q, E, F thẳng hàng.