Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (cm) 

Áp dụng tính chất tia phân giác:

$\frac{IA}{IC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$

Mà $IA+IC=AC=5$

$\Rightarrow IA=5:(3+4).3=\frac{15}{7}; IC=5:(3+4).4=\frac{20}{7}$ (cm)

Hình vẽ:

câu a, \(\dfrac{x}{x+1}\); \(\dfrac{x^2}{1-x}\); \(\dfrac{1}{x^2-1}\)  (đk \(x\)≠ -1; 1)

          \(x^2\) - 1 = ( \(x\) - 1).(\(x\) + 1)

          \(\dfrac{x}{x+1}\) = \(\dfrac{x.\left(x-1\right)}{\left(x+1\right).\left(x-1\right)}\);

          \(\dfrac{x^2}{1-x}\) = \(\dfrac{-x^2}{x-1}\)= \(\dfrac{-x^2.\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\) 

         \(\dfrac{1}{x^2-1}\)  =  \(\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

b, \(\dfrac{10}{x+2}\); \(\dfrac{5}{2x-4}\); \(\dfrac{1}{6-3x}\) (đk \(x\) ≠ -2; 2)

    2\(x-4\) = 2.(\(x\) - 2); 6 - 3\(x\) = - 3.(\(x\)  - 2)

   \(\dfrac{10}{x+2}\) = \(\dfrac{10.2.3\left(x-2\right)}{2.3\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\) = \(\dfrac{60\left(x-2\right)}{6\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

    \(\dfrac{5}{2x-4}\) = \(\dfrac{5.3\left(x+2\right)}{2.3\left(x-2\right).\left(x+2\right)}\) = \(\dfrac{15.\left(x+2\right)}{6.\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

    \(\dfrac{1}{6-3x}\) = \(\dfrac{-1}{3.\left(x-2\right)}\) = \(\dfrac{-1.\left(x+2\right)}{3.2.\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\) = \(\dfrac{-2.\left(x+2\right)}{6.\left(x-2\right).\left(x+2\right)}\)

c, \(\dfrac{x}{2x-4}\); \(\dfrac{1}{2x+4}\) và \(\dfrac{3}{4-x^2}\)  đk \(x\) ≠ 2; -2

\(\dfrac{x}{2x-4}\)  =   \(\dfrac{x}{2.\left(x-2\right)}\) = \(\dfrac{x.\left(x+2\right)}{2.\left(x-2\right).\left(x+2\right)}\) 

  \(\dfrac{1}{2x+4}\) = \(\dfrac{1}{2.\left(x+2\right)}\) = \(\dfrac{\left(x-2\right)}{2.\left(x+2\right).\left(x-2\right)}\)

\(\dfrac{3}{4-x^2}\) = \(\dfrac{-3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)  = \(\dfrac{-6}{2.\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

Ta có: \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

=> a+b=2c; b+c=2a; c+a=2b

Thay vào A ta được: A=((a+b)/b)((c+b)/c)((a+c)/a)

=2c/b.2a/c.2b/a=2.2.2=8

           a,  Xét tứ giác ABCD có : BM = MC; DM = MA 

⇒ Tứ giác ABCD  là hình bình hành vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành. 

Vì ABCD là hình bình hành có một góc vuông nên ABCD là HCN (đpcm)

       ⇒ AB // CD; AB = CD

b, Xét tứ giác BEDC có:

            BE // CD

            BE = AB = CD

  ⇒ BEDC là hình bình hành (vì một tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành)

c, Xét tam giác ADE có: 

    AM = MD;

    AB = BE;

⇒ BM là đường trung bình của tam giác ADE 

 ⇒ BM = \(\dfrac{1}{2}\) DE

   ⇒ \(\dfrac{BM}{DE}\) = \(\dfrac{1}{2}\) (1) 

     BM // DE

Theo hệ quả của talet ta có:

      \(\dfrac{MK}{KE}\) = \(\dfrac{BM}{DE}\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

     \(\dfrac{MK}{KE}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

     KE = 2.MK (đpcm)

\(3x\left(x+1\right)-2x\left(x+1\right)=-x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x-2x\right)=-\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)x+\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)