Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\ge1-\frac{x^2}{2x}=1-\frac{x}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{1+y^2}\ge1-\frac{y}{2};\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge3-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Khi \(x=y=z=1\)

PT tương đương \(2x-6=3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}\)

Bình phương hai vế \(4x^2-34x+48=6\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+6\right)}\)

Tiếp tục bình phương được phương trình tương đương \(\left(x-3\right)^2\left(x^2-11x+19\right)=0\)

P/s: Tham khảo nha!

(x-3)^2*(x^2-11x+19)=0

Đk : x >= -2

pt <=> 3.\(\sqrt{\left(x+2\right).\left(x^2-2x+4\right)}\) = 2.[(x^2-2x+4)-(x+2)]

Đặt \(\sqrt{x+2}\)= a ; \(\sqrt{x^2-2x+4}\)= b ( a,b >= 0 )

pt <=> 3ab = 2a^2-2b^2

<=> 2a^2-2b^2-3ab = 0

<=> (2a^2-4ab)+(ab-2b^2) = 0

<=> (a-2b).(2a+b) = 0

<=> a=2b và 2a=-b

Từ đó bạn tự thay a,b bởi x để tìm x nha

đặt 3√x3+82(x2−3x+2)=3x3+8  = 2(x^2 - 3x +2)     là            (1)

DK:x≥−2x≥−2

(1)<=>2(x2−3x+2)=3√x+2.√x2−2x+4(1)<=>2(x2−3x+2)=3x+2.x2−2x+4

Đặt: √x+2=ax+2=a              (a≥0)(a≥0)

        √x2−2x+4=bx2−2x+4=b      (b≥0)(b≥0)

=>x2−3x+2=b2−a2x2−3x+2=b2−a2

Ta có pt: 2(b2−a2)=3ab2(b2−a2)=3ab <=>(2a−b)(a+2b)=0<=>2a−b=0<=>(2a−b)(a+2b)=0<=>2a−b=0 hoặc a+2b=0a+2b=0
Đến đây bạn tự giả nhé!!!!vvv

Đặt A=4(1-x)(1-y)(1-z)

Chứng minh BĐT phụ: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(Tự chứng minh)

Áp dụng BĐT thức trên, ta có:

\(A=4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(=4\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\)

\(\le4.\frac{\left(x+2y+z\right)^2}{4}.\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow A\le\left(x+2y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{\left(x+2y+x+z\right)^2}{4}\left(x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4}\left(x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\le x+2y+z\)(  do x+y+z=1)

Vậy....

B1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{3}{3xy}\)

\(=\frac{1}{1-3xy}+\frac{\sqrt{3^2}}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=\left(1+\sqrt{3}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy ?