Bai 5 :

Theo giả thiết ta có : \(P=\frac{x\left(x+y+z\right)+yz}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)+zx}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)+xy}{x+y}\)

\(=\frac{x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)}{y+z}+\frac{y\left(y+z\right)+x\left(y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(y+z\right)+x\left(z+y\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{y+z}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{z+x}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{x+y}\)

Đặt \(\left\{x+y;y+z;z+x\right\}\rightarrow\left\{a;b;c\right\}\)bài toán quy về :

Cho \(\hept{\begin{cases}a+b+c=4\\a;b;c>0\end{cases}}\)Tìm GTNN của \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có : 

\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{acab}{bc}}=2a\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{abbc}{ca}}=2b\)

\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bcac}{ab}}=2c\)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta được : 

\(2\left(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)=2.4=8\)

\(< =>\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\frac{8}{2}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{4}{3}< =>x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P = 4 khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Kick mik nha

Thế thì phạm luật thi :)

uh , thế thif PHAMj luật

\(1.x\left(-2x+4\right)-2x\left(-x+4\right)+x\)

\(-2x^2+4x+2x^2-8x+x\)

\(x-4x\)

\(-3x\)

cách 2 :

\(x\left(-2x+4\right)-2x\left(-x+4\right)+x\)

\(2x\left(-x+2\right)-2x\left(-x+4\right)+x\)

\(2x\left(-x+2+x-4\right)+x\)

\(-4x+x\)

\(-3x\)

\(2.x\left(-2x+4\right)-2x\left(-x+3\right)+x\)

\(2x\left(-x+2+x-3\right)+x\)

\(-2x+x\)

\(-x\)

a, \(x\left(-2x+4\right)-2x\left(-x+4\right)+x\)

\(=-2x^2+4x+2x^2-8x+x=-3x\)

b, \(x\left(-2x+4\right)-2x\left(-x+3\right)+x\)

\(=-2x^2+4x+2x^2-6x+x=-x\)

45:8=5 (dư 5)

45 là đúng

45 nha

Câu 5:

\(P=\frac{2x+yz}{y+z}+\frac{2y+zx}{z+x}+\frac{2z+xy}{x+y}\left(x,y,z>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{2x+yz}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)+yz}{y+z}\)(vì \(x+y+z=2\)).

\(\Rightarrow\frac{2x+yz}{y+z}=\frac{x\left(x+y\right)+xz+yz}{y+z}=\frac{x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)}{y+z}\)\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{y+z}\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{2y+zx}{z+x}=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{2z+xy}{x+y}=\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}\).

Do đó:

\(P=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{x+y}\).

Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\left(a,b,c>0\right)\)thì \(a+b+c=2\left(x+y+z\right)=2.2=4\). Do đó:

\(P=\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\).

Vì \(a,b,c>0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ac.ab}{bc}}=2a\)\(\left(1\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{ac}{b}=\frac{ab}{c}\Leftrightarrow\frac{c}{b}=\frac{b}{c}\Leftrightarrow b=c>0\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)\(\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).

Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)\(\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) , ta được:

\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2a+2b+2c\).

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\).

\(\Leftrightarrow\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c\).

\(\Leftrightarrow P\ge4\)(vì \(a+b+c=4\)).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=y+z=z+x\\x,y,z>0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)

Mà \(x+y+z=2\)nên \(x=y=z=\frac{2}{3}\).

Vậy \(minP=4\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\).
 

Câu 3:

\(\frac{1}{3a+b}+\frac{2}{a+3b}=\frac{3}{2a+2b}\).

\(\Leftrightarrow\left[\frac{1}{3a+b}-\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right]+2\left[\frac{1}{a+3b}-\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right]=0\).

\(\Leftrightarrow\left[\frac{2\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}-\frac{3a+b}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}\right]\)\(+2\left[\frac{2\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}-\frac{a+3b}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}\right]=0\).

\(\Leftrightarrow\frac{2a+2b-3a-b}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}+2.\frac{2a+2b-a-3b}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}+\frac{2\left(a-b\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}\left(\frac{1}{3a+b}-\frac{2}{a+3b}\right)=0\).

Vì \(0< a< b\)nên \(a+b>0;b-a>0\)\(\frac{b-a}{\left(a+b\right)}>0\Rightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}>0\)\(\Rightarrow\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}\ne0\). Lúc đó:

\(\frac{1}{3a+b}-\frac{2}{a+3b}=0:\frac{b-a}{2\left(a+b\right)}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3a+b}-\frac{2}{a+3b}=0\).

\(\Leftrightarrow\frac{a+3b}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}-\frac{2\left(3a+b\right)}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).

\(\Leftrightarrow\frac{a+3b-6a-2b}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).

\(\Leftrightarrow\frac{b-5a}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=0\).

Vì \(0< a< b\)nên \(3a+b>0;a+3b>0\)\(\Rightarrow\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)>0\Rightarrow\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)\ne0\).

Do đó:

\(\frac{b-5a}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}=\frac{0}{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\).

\(\Rightarrow b-5a=0\Leftrightarrow b=5a\)(thỏa mãn \(0< a< b\)).

\(M=\frac{3}{3a+b}+\frac{2}{a+3b}-\frac{3}{a+b}\).

Thay \(b=5a\)vào \(M\), ta được:

\(M=\frac{3}{3a+5a}+\frac{2}{a+3.5a}-\frac{3}{a+5a}\).

\(M=\frac{3}{8a}+\frac{2}{16a}-\frac{3}{6a}=\frac{3}{8a}+\frac{1}{8a}-\frac{1}{2a}=\frac{1}{4a}-\frac{1}{2a}\).\(=\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}=0\)

Vậy \(M=0\).

người lớn 72 tuổi
em bé 6 tháng tuổi

bố 72 tuổi

con 1/2 tuổi=6 tháng

Bẹn tự vẽ hình nhé

1) Ta có: BOC=90 => CON+BON=90

Vì MON =90 (gt)

=> BOM+BON=90 => BOM=CON

+) BD là đường chéo=> BD là phân giác ABC => MBO=CBO = 1/2 BOC=45

Tương tự: NCO=DCO=1/2 BOC=45 

=> MBO=NCO

Xét tam giác OBM và OCN có:

OB=OC

BOM=CON 

MBO=NCO

=> Tam giác OBM=OCN (g.c.g)

=> OM=ON (1)

Lại có: MON =90(gt) (2)

Từ 1,2 => tam giác MON vuông cân (đpcm)

2) tam giác OBM= tam giác OCN(theo 1) 

=> BM=CN

Mà AB=AC ( tứ giác ABCD là hình vuông)

=>AB-BM=BC-CN

=> AM=BM=AM/MB=BN/CN

Ta có: AB//CD (ABCD là hv) => AM//CE => AN/NE=BN/NC

=> AM/BM=AN/NE => MN//BE ( Ta-lét đảo)

3) Vì MN//BE (Theo 2) => BKN=MNO =45 (hai góc đồng vị, tam giác MON vuông cân)

=> tam giác BNK đồng dạng ONC ( BNK=ONK;BKN=OCN=45)

=> NB/NK=NO/NC

Xét tam giác BON và KNC có:

BNO=CNK

NB/NK=NO/NC

=> TAM GIÁC BON đồng dạng tam giác KNC( cgc)

=> NKC=NBO=45

=> BKC=BKN+CKN=90=> CK vuông góc BE (đpcm)

4) Vì KH//OM 

Mà MK vuông góc OK

=> Mk vuôg góc KH 

=> NKH=90

Lại có: NKC=45=> CKH=45=>BKN=NKC=CKH=45

Xét tam giác BKC có: BKN=NKC => KN là phân giác 

Mà KH vuôg góc KN

=> KH là phân giác  ngoài tam giác BKC => KC/KB=HC/HB

CMTT: KN/KH=BN/BH

=> KC/KB+KN/KH+NC/BH=HC/HB+BN/BH+CN/BH=BH/BH=1(ĐPCM)

\(\frac{2}{x-1}+\frac{4}{x+3}=\frac{3x+11}{x^2+2x-3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x-1}+\frac{4}{x+3}=\frac{3x+11}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=\frac{3x+11}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Rightarrow2x+6+4x-4=3x+11\)

\(\Leftrightarrow2x+4x-3x=11-6+4\)

\(\Leftrightarrow3x=9\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy....:)