Dựa vào đồ thị, ta thấy \(m=\min\limits_{\left[-1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-4\)

và \(M=\max\limits_{\left[-1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(-1\right)=2\)

Khi đó \(M+m=2-4=-2\)

\(\Rightarrow x=(-\infty,1]\cup\left\{2\right\}\cup[3,+\infty)\)

\(y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\left(m-1\right)x+3\)

\(\Rightarrow y'=x^2-2x+\left(m-1\right)\)

Xét hàm số y' trên khoảng đóng \(\left[1;3\right]\). Do \(a>0\) và \(y'\le0,\forall x\in\left[1;3\right]\) nên phương trình \(y'=0\) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt

Ta có: \(\Delta_{y'}=4-4\left(m-1\right)=-4m+8>0\) \(\Rightarrow m< 2\)

Phương trình y'=0 có 2 nghiệm thực phân biệt là:

\(x_1=\dfrac{2+\sqrt{-4m+8}}{2}=1+\sqrt{-m+2}\) ; \(x_2=\dfrac{2-\sqrt{-4m+8}}{2}=1-\sqrt{-m+2}\)

Để ý \(y'\le0\) trên đoạn \(\left[1-\sqrt{-m+2};1+\sqrt{-m+2}\right]\) (do \(a>0\)), nên \(\left[1-\sqrt{-m+2};1+\sqrt{-m+2}\right]\supseteq\left[1;3\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\sqrt{-m+2}\le1\\1+\sqrt{-m+2}\ge3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\le-2\)

Vậy với \(m\le-2\) thì \(y'\le0,\forall x\in\left[1;3\right]\)

\(y'=x^2-2x+(m-1) \geq0 \forall x \in (-1,+\infty) \)

\(\Rightarrow x^2-2x\ge1-m\forall x\in\left(-1,\infty\right)\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2-2x\Rightarrow f'\left(x\right)=2x-2\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=1\)

bbt:

Đặt \(t=2^x\Rightarrow\) pt trở thành \(t^2-2t+m+2=0\Rightarrow t^2-2t=-m-2\left(1\right)\) 

Với mỗi nghiệm t ta sẽ có một nghiệm x

Vì \(x>-1\) nên \(t=2^x>\dfrac{1}{2}\)

Để pt của đề bài có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2>-1\) thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt  \(t_1,t_2>\dfrac{1}{2}\)

bbt:

Theo bbt \(\Rightarrow-1< -m-2< -\dfrac{3}{4}\Rightarrow-\dfrac{5}{4}< m< -1\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot4m=4m^2-16m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>4m(m-4)>0

=>m(m-4)>0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< 0\end{matrix}\right.\)

THeo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=4\)

=>\(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=4\)

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=4\)

=>\(\sqrt{\left(2m\right)^2-4\cdot4m}=4\)

=>\(4m^2-16m=16\)

=>\(m^2-4m=4\)

=>\(m^2-4m-4=0\)

=>\(m^2-4m+4-8=0\)

=>\(\left(m-2\right)^2=8\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=2\sqrt[]{2}\\m-2=-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\sqrt{2}+2\left(nhận\right)\\m=-2\sqrt{2}+2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(t=\log_2\left(x\right)\Rightarrow\) pt trở thành \(t^2-2mt+3m-2=0\left(1\right)\)

Với mỗi nghiệm t cho một nghiệm x

Để pt đề cho có 2 nghiệm phân biệt thì pt (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt

\(\Delta'=m^2-3m+2>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2=2\Rightarrow\log_2\left(x_1x_2\right)=1\Rightarrow\log_2\left(x_1\right)+\log_2\left(x_2\right)=1\Rightarrow t_1+t_2=1\)

Áp dụng định lý Vi-ét \(\Rightarrow2m=1\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\) (thỏa điều kiện denta phẩy)

Đặt \(y=3^x\Rightarrow\) pt trở thành \(t^2-3mt+4m+1=0\left(1\right)\)

Với mỗi nghiệm t cho một nghiệm x nên để pt đề cho có 2 nghiệm phân biệt thì pt (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt

\(\Delta=9m^2-16m-4>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -\dfrac{2}{9}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1+x_2=9\Rightarrow3^{x_1+x_2}=3^9\Rightarrow3^{x_1}.3^{x_2}=3^9\Rightarrow t_1.t_2=3^9\)

Áp dụng định lý Vi-ét \(\Rightarrow4m+1=3^9\Rightarrow m=\dfrac{3^9-1}{4}=\dfrac{9841}{2}\) (thỏa điều kiện denta)