Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Chứng minh AK song song với BD
- Ta có hai đường tròn (O; R) và (O'; R) cắt nhau tại hai điểm A, B.
- Vẽ hai bán kính OC của (O) và O'D của (O') sao cho OC // O'D, đồng thời điểm C và D nằm cùng phía với A so với đoạn OO'.
- Vì OC // O'D, nên các góc tạo bởi các đoạn thẳng liên quan sẽ có quan hệ song song và bằng nhau.
- Cụ thể, xét hai góc ∠COB và ∠D O'B, chúng là hai góc so le trong nên bằng nhau.
- Vì OB là điểm chung nên xét hai tam giác ABC và ABD: góc ở C và góc ở D bằng nhau, đồng thời các cạnh tương ứng có tỉ lệ thích hợp.
- Do đó, góc CAB bằng góc DBA, tức là hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng AK và BD.
- Vì hai góc này bằng nhau nên theo tính chất của hai đường thẳng và một đường cắt, ta suy ra AK song song với BD.
- Chứng minh A là trực tâm tam giác BCD
- Điểm A là điểm chung của hai đường tròn (O) và (O').
- Vì CA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), nên góc giữa CA và bán kính OC là 90 độ, tức ∠CAO = 90°.
- Tương tự, DA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') nên ∠DAO' = 90°.
- Vì OC // O'D nên đoạn CD song song với đoạn OO', và đặc biệt CD vuông góc với AB.
- Từ đó ta có: AB vuông góc với CD, AC vuông góc với BD, và AD vuông góc với BC.
- Điều này có nghĩa là A là giao điểm của ba đường cao trong tam giác BCD, vì từ A ta kẻ các đường vuông góc với các cạnh đối diện.
- Do đó, A chính là trực tâm của tam giác BCD. 🤡
- Em 🤡🤡🤡xin tíck ạ !
M A B C D I J O' O
1/ Theo tính chất các tiếp tuyến cắt nhau ta có : AC = CM ; BD = MD
Suy ra : \(AC.BD=MC.MD=OM^2=R^2\) (OM là đường cao tam giác vuông COD)
2/ Vì C và D là giao điểm của các tiếp tuyến cắt nhau nên theo tính chất ta có
OC vuông góc với AM và OD vuông góc với BM. Mà góc AMB chắn nửa cung tròn
đường kính AB nên có số đo bằng 90 độ hay AM vuông góc với BM.
Từ đó ta có \(\hept{\begin{cases}OI\text{//}MB\\OA=OB\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}OJ\text{//}MA\\OA=OB\end{cases}}\)
Suy ra OI và OJ là các đường trung bình của tam giác AMB => IA = IM và JB = JM
Lại tiếp tục suy ra được IJ là đường trung bình của tam giác AMB => IJ // AB
3/
Gọi O' là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD và d khoảng cách từ O' đến CD.
Khi đó ta nhận thấy rằng nếu CD chuyển động nhưng vẫn tiếp xúc với (O) thì d không đổi.
Theo định lí Pytago thì : \(O'D=\sqrt{d^2+\left(\frac{CD}{2}\right)^2}\)
Mà d không đổi, do vậy min O'D <=> min CD.
Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của CD.
Ta có : \(CD^2=\left(MC+MD\right)^2\ge4MC.MD=4OM^2\)
\(\Rightarrow CD\ge2OM\) (hằng số). Để điều này xảy ra thì M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy M là điểm chính giữa cung AB thì (CIJD) có bán kính nhỏ nhất.
Nếu không ai giải thì vẽ cho mình cái hình mình giải giúp cho. Nhớ vẽ luôn cả tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD nhé
Bài 7
a) theo tính chất ta có
tam giác ADC vuông tại D và tam giác ADB
Qua điểm D có 2 đường thẳng cùng vuông góc vs AD nên BD và CD trùng nhau
Do đó: 3 điểm B;C;D thẳng hàng
b) do M là điểm chính giữa của cung CD nên ta có O'M vuông góc vs CD
Mà lại có tam giác AO'M cân tại O' nên có 2 góc ở đáy bằng nhau
Dễ dàng chứng minh cho góc BAE bằng góc AEB nên tam gíc ABE caan tại b
c) Đợi tớ vẽ lại hình đã, nhìn hình vẽ phác nên rối lắm
A B O M C D E F H G
1) Vì ^AEB chắn nửa đường tròn (O) nên EA vuông góc EB. Do đó BE // CM.
Suy ra tứ giác BECM là hình thang cân (Vì 4 điểm B,C,M,E cùng thuộc (O))
Kết hợp với M là điểm chính giữa cung AB suy ra CE = BM = AM hay (CE = (AM
Vậy thì tứ giác ACEM là hình thang cân (đpcm).
2) Đường tròn (O) có M là điểm chính giữa cung AB, suy ra MO vuông góc AB
Từ đó MO // CH suy ra ^HCM = ^OMC = ^OCM. Vậy CM là phân giác của ^HCO (đpcm).
3) Kẻ đường kính MG của đường tròn (O). Dễ thấy ^DOG = ^DCG (= 900)
Suy ra 4 điểm C,D,O,G cùng thuộc đường tròn đường kính DG
Mặt khác AB là trung trực của MG, D thuộc AB nên DG = DM
Theo mối quan hệ giữa đường kính và dây ta có:
\(CD\le DG=DM\Leftrightarrow2CD\le DM+CD=CM\Leftrightarrow CD\le\frac{1}{2}CM\)
Lại có tứ giác ACEM là hình thang cân, do vậy \(CD\le\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}AE\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi C là điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O).
1: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Ta có: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
Ta có: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=90^0\)
Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=OM^2=R^2\)
b: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BN tại M
Ta có: \(\hat{CAM}+\hat{CNM}=90^0\) (ΔAMN vuông tại M)
\(\hat{CMA}+\hat{CMN}=\hat{AMN}=90^0\)
mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\) (ΔCAM cân tại C)
nên \(\hat{CNM}=\hat{CMN}\)
=>CN=CM
mà CM=CA
nên CN=CA
=>C là trung điểm của AN
c: Ta có: \(\hat{ACO}+\hat{AOC}=90^0\) (ΔOAC vuông tại A)
\(\hat{AOC}+\hat{BOD}=180^0-90^0=90^0\)
Do đó: \(\hat{ACO}=\hat{BOD}\)
Xét ΔACO vuông tại A và ΔBOD vuông tại B có
\(\hat{ACO}=\hat{BOD}\)
Do đó: ΔACO~ΔBOD
=>\(\frac{AO}{BD}=\frac{AC}{BO}=\frac{2\cdot AC}{2\cdot BO}=\frac{NA}{BA}\)
Xét ΔANO vuông tại A và ΔBAD vuông tại B có
\(\frac{AO}{BD}=\frac{AN}{BA}\)
Do đó: ΔANO~ΔBAD
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 900.
AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 900.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E1 = góc A1 (1).
Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E3 = góc B1 (2)
Mà góc B1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E1 = góc E3 => góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3
Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = 900 => góc E2 + góc E3 = 900 = góc OED => DE ┴ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ↔ ED2 = 52 – 32 ↔ ED = 4cm
