Question

[Lê Song Phương]

Trong không gian Oxyz, cho 9 điểm bất kỳ sao cho chúng đều có tọa độ nguyên. Lấy trung điểm của tất cả các đoạn thẳng tạo bởi 2 trong 9 điểm đã cho. Chứng minh rằng trong số các trung điểm đó, luôn tồn tại ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.

Answer 1

[VŨ ĐỨC THỊNH]

Bài toán thuộc dạng tổ hợp hình học với điều kiện về tọa độ nguyên, khá kinh điển và thú vị. Ta sẽ đi chứng minh rằng:

Trong số các trung điểm tạo bởi 2 trong số 9 điểm có tọa độ nguyên, luôn tồn tại ít nhất một trung điểm cũng có tọa độ nguyên.

---

🚩 Phân tích & định hướng:

• Tọa độ nguyên nghĩa là các điểm có dạng \(\left(\right. x , y , z \left.\right)\) với \(x , y , z \in \mathbb{Z}\).
• Trung điểm của hai điểm \(\left(\right. x_{1} , y_{1} , z_{1} \left.\right)\) và \(\left(\right. x_{2} , y_{2} , z_{2} \left.\right)\) là:
  \(\left(\right. \frac{x_{1} + x_{2}}{2} , \frac{y_{1} + y_{2}}{2} , \frac{z_{1} + z_{2}}{2} \left.\right)\)
  → Trung điểm có tọa độ nguyên nếu tổng của từng cặp tọa độ đều là số chẵn.

---

✅ Cách làm: Xét theo parity (chẵn/lẻ)

Bước 1: Có bao nhiêu "kiểu chẵn/lẻ" cho một điểm?

Vì mỗi tọa độ có thể chẵn (0) hoặc lẻ (1) nên mỗi điểm có 3 tọa độ → có:

\(2 \times 2 \times 2 = 8 \&\text{nbsp};\text{ki}ể\text{u}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{\sim}{\overset{ }{\text{a}}} \text{n}/\text{l}ẻ\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nhau}\)

(Mỗi kiểu được biểu diễn bởi bộ ba bit: \(\left(\right. x \textrm{ } \textrm{ } 2 , y \textrm{ } \textrm{ } 2 , z \textrm{ } \textrm{ } 2 \left.\right)\))

---

Bước 2: Có 9 điểm → dùng Nguyên lý Dirichlet (Pigeonhole Principle)

• Có 8 kiểu chẵn/lẻ.
• Nhưng ta có 9 điểm.
  → Chắc chắn tồn tại ít nhất một cặp điểm có cùng kiểu chẵn/lẻ.

---

Bước 3: Với hai điểm cùng kiểu chẵn/lẻ → Trung điểm có tọa độ nguyên

Ví dụ:

• A = \(\left(\right. x_{1} , y_{1} , z_{1} \left.\right)\), B = \(\left(\right. x_{2} , y_{2} , z_{2} \left.\right)\)
• Giả sử cả hai điểm đều có cùng chẵn/lẻ tại mỗi tọa độ → thì \(x_{1} + x_{2}\), \(y_{1} + y_{2}\), \(z_{1} + z_{2}\) đều là số chẵn
  → Trung điểm có tọa độ nguyên.

---

✅ Kết luận:

Với 9 điểm bất kỳ có tọa độ nguyên trong không gian \(O x y z\), luôn tồn tại ít nhất một cặp điểm có cùng kiểu chẵn/lẻ tại từng tọa độ → trung điểm của chúng có tọa độ nguyên.