Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)
\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Côsi: \(\sqrt{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.2.\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\)
Tương tự các cái kia.
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)
\(\ge2\sqrt{2}.\frac{9}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}=\frac{18\sqrt{2}}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)
ta có: xy+yz+zx=1
=> \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
c/m tương tự ta đc: \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
thay vào A ta đc:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\)\(\Rightarrow A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A=2\) vì xy+yz+zx=1
Thay \(1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) ta có
\(1+x=x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
Tương tự \(1+y=\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\) và \(1+z=\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{y}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\)
và \(\frac{\sqrt{x}}{1+x}+\frac{\sqrt{y}}{1+y}+\frac{\sqrt{z}}{1+z}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}+\frac{\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{\sqrt{z}}{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{y}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}\)
\(=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}\)
Do đó P = 2
\(\frac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-y+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-x+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)
TA CÓ:
\(B=\frac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\ge\frac{1}{\frac{x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{z+x+2y}{2}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{3\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
DẤU BẰNG XẢY RA:\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{B}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3z\left(x+2y\right)}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{3x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{3y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{3z+x+2y}{2}}\ge\frac{2\left(1+1+1\right)^2}{6\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{6\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{18\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=3\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
nhận liên hợp ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)
tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)
trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y
đến đây ok rùi nhé bạn
a có biểu thức \(P\) với các biến dương và điều kiện tổng cố định.
Bước 1: Biểu thức \(x \left(\right. y + z \left.\right)\) có thể viết lại
Vì \(x + y + z = 18\), nên:
\(y + z = 18 - x ,\)
tương tự:
\(z + x = 18 - y , x + y = 18 - z .\)
Vậy:
\(P = \frac{1}{x \left(\right. 18 - x \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. 18 - y \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. 18 - z \left.\right)} .\)
Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz
Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương:
\(\left(\right. \sum \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} \left.\right) \left(\right. \sum x \left(\right. y + z \left.\right) \left.\right) \geq \left(\right. 1 + 1 + 1 \left.\right)^{2} = 9.\)
Nhưng ta cần tính \(\sum x \left(\right. y + z \left.\right)\):
\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) .\)
Mở rộng:
\(= x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) = x y + x z + y z + y x + z x + z y = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)
Do đó:
\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)
Bước 3: Vậy:
\(P \geq \frac{9}{\sum x \left(\right. y + z \left.\right)} = \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} .\)
Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa \(x y + y z + z x\) và \(x + y + z\)
Vì \(x , y , z > 0\) và \(x + y + z = 18\), ta áp dụng bất đẳng thức cơ bản:
\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)
Suy ra:
\(x y + y z + z x \leq \frac{\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2}}{3} = \frac{18^{2}}{3} = \frac{324}{3} = 108.\)
Bước 5: Áp dụng vào biểu thức \(P\):
\(P \geq \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} \geq \frac{9}{2 \times 108} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24} .\)
Nhưng đề bài yêu cầu chứng minh \(P \geq \frac{1}{4}\), trong khi ta có được \(P \geq \frac{1}{24}\) theo cách này — chưa đủ mạnh.
Bước 6: Thử cách khác bằng việc đưa về một biến
Do đối xứng, giả sử \(x = y = z = 6\). Thử tính \(P\):
\(P = 3 \times \frac{1}{6 \times \left(\right. 6 + 6 \left.\right)} = 3 \times \frac{1}{6 \times 12} = 3 \times \frac{1}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24} ,\)
giá trị này nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).
Nhận xét:
Điều này cho thấy đề bài có thể bị sai hoặc thiếu điều kiện vì với \(x = y = z = 6\), \(P = \frac{1}{24}\) chứ không phải \(\geq \frac{1}{4}\).