Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Hai tam giác vuông ABO và ACO có chung cạnh huyền AO nên A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Vậy tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b) Ta thấy ngay \(\Delta ABD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AE.AD=AB^2\)
Xét tam giác vuông ABO có BH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AH.AO=AB^2\)
Suy ra AD.AE = AH.AO
c) Ta có \(\widehat{PIK}+\widehat{IKQ}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360^o\)
\(\Rightarrow2\left(\widehat{PIO}+\widehat{P}+\widehat{OKQ}\right)=360^o\)
\(\Rightarrow\widehat{PIO}+\widehat{P}+\widehat{OKQ}=180^o\)
Mặt khác \(\widehat{PIO}+\widehat{P}+\widehat{IOP}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{IOP}=\widehat{OKQ}\Rightarrow\Delta PIO\sim\Delta QOK\)
\(\Rightarrow\frac{IP}{PO}=\frac{OQ}{KQ}\Rightarrow PI.KQ=PO^2\)
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(IP+KQ\ge2\sqrt{IP.KQ}=2\sqrt{OP^2}=PQ\)
acje cho hỏi 2 tam giác đồng dạng ở câu b là góc nào í chỉ ro rõ cho e với ạk
a. Ta có: \(\Lambda\)ABO=90 ( do AB là tiếp tuyến của (O))
\(\Lambda\)ACO=90 ( do AC là tiếp tuyến của (O))
\(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ABO + \(\Lambda\)ACO = 90 + 90 = 180.
Suy ra: tứ giác ABOC nội tiếp.
b. Ta có: AB,AC lần lượt là tiếp tuyến của (O) nên AB=AC.
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABC cân tại A lại có AH là tia phân giác nên AH cũng là đường cao
\(\Rightarrow\)AO\(\perp\)BC tại H.
Áp dụng đinh lý Py-ta-go vào \(\Delta\)ABO ta có:
AO2 = AB2 + BO2 = 42 + 32 = 25
\(\Rightarrow\)AO = 5 (cm).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABO ta được:
AB2 = AH.AO \(\Rightarrow\) AH = \(\dfrac{AB^2}{AO}\)=\(\dfrac{16}{5}\)(cm)
c. Ta có: \(\Lambda\)ACE=\(\Lambda\)ADC ( tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )
Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)ADC có:
\(\Lambda ACE=\Lambda ADC\)
\(\Lambda\)CAD chung
Do đó: \(\Delta ACE\sim\Delta ADC\) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\) \(\Rightarrow\)AC2 = AD.AE (1)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACO có:
AC2 = AH.AO (2)
Từ (1) và (2) ,suy ra: AD.AE = AH.AO.
a)Ta có:\(\widehat{ABO};\widehat{ACO}\) lần lượt là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ABO=}\widehat{ACO}=90^{ }\)
\(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90+90=180\)
Mà hai góc này đối nhau nên tứ giác ABOC nội tiếb)
b)Theo a) ta có:\(\widehat{ABO}=90\)⇒▲ABO là tam giác vuông tại B đường cao AH.
Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông ABO đường cao AH ta có:
\(AO^2=AB^2+BO^2=4^2+3^2=25\)
\(\Rightarrow\sqrt{AO}=5\) cm.
Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong ▲vuông ABO ta có:
\(AB^2=AH\cdot AO\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2^{ }}{AO}=\dfrac{4^2^{ }}{5}=\dfrac{16}{5}\)
A B C K Q D I P O H 1 1 2 1 2 3 1 2 E
- Do AB , AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Nên : \(\hept{\begin{cases}OB⊥AB\\OC⊥AC\end{cases}\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0}\)\(\Rightarrow ABOC\)Nội tiếp đường tròn đường kính AO
- Ta có : \(\hept{\begin{cases}\widehat{BAE}chung\\\widehat{BEA}=\widehat{ABD}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABD\approx\Delta AEB\)\(\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AB^2=AE.AD\left(1\right)\)Mà ta lại có tam giác vuông \(\Delta ABO\)Có BH là đường cao ( tính chất của tiếp tuyến ) \(\Rightarrow AH.AO=AB^2\left(2\right)\)từ 1 và 2 \(\Rightarrow AH.AO=AD.AE\left(dpcm\right)\)
- Theo tính chất của tiếp tuyến luôn có \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2};\widehat{K_1}=\widehat{K_2};\widehat{0_3}=\widehat{0_2}\) Do \(\widehat{A_1}=\widehat{0_1}\)(Cùng phụ góc \(\widehat{AQO}\)) mặt khác \(\widehat{KOQ}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=\widehat{A_1}+90^0-\widehat{K_1}\left(3\right)\)
\(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}=180-\left(\widehat{K_2}+\widehat{IOK}\right)\)mà \(\widehat{IOK}=180^0-\widehat{BAC}\)Do AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\)\(\Rightarrow\widehat{IOK}=90^0-\widehat{A_1}\)Vì vậy ta có :\(\widehat{I_2}=180-\left(\widehat{K_2}+90^0-\widehat{A_1}\right)=90^0+\widehat{A_1}-\widehat{K}_2\left(4\right)\)
từ 3 và 4 ta có \(\widehat{I_1}=\widehat{KOQ}\)
Vì \(\widehat{APO}=\widehat{AQP}\)\(\Rightarrow\Delta IPO=\Delta OQK\)
\(\Rightarrow\frac{IP}{OP}=\frac{OQ}{QK}\Leftrightarrow IP.QK=OQ.OP\)Mà \(OP=OQ=\frac{PQ}{2}\)\(\Rightarrow IP.QK=\left(\frac{PQ}{2}\right)^2\Leftrightarrow PQ^2=4IP.QK\le\left(IP+QK\right)^2\)\(\Rightarrow IP+QK\ge PQ\)
O A B D E C H P F N M I
a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)
Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)
Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:
\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)
Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.
b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp
Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)
Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)
Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.
c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)
Theo hệ thức lượng thì:
\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\hat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\hat{ABD}=\hat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\hat{ABD}=\hat{AEB}\)
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AB^2=AD\cdot AE\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
c: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
=>\(OH=\frac{R^2}{3R}=\frac{R}{3}\)
Ta có: OH+HD=OD
=>\(HD=R-\frac{R}{3}=\frac23R\)
Ta có: HD+HE=DE
=>\(HE=2R-\frac23R=\frac43R\)
ΔOHB vuông tại H
=>\(HB^2+HO^2=BO^2\)
=>\(HB^2=R^2-\left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac89R^2\)
=>\(HB=\frac{2\sqrt2}{3}R\)
H là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot HB=2\cdot\frac{2\sqrt2}{3}\cdot R=\frac{4\sqrt2}{3}\cdot R\)
Xét ΔEBC có EH là đường cao
nên \(S_{EBC}=\frac12\cdot EH\cdot BC=\frac12\cdot\frac43R\cdot\frac{4\sqrt2}{3}\cdot R=\frac{8\sqrt2}{9}\cdot R^2\)
Tứ gaisc APOQ có tổng hai góc đối bằng 180o.PM //AQ suy ra \widehat{PMN} = \widehat{KAN} (so le trong)\widehat{PMN} = \widehat{APK} (cùng chắn cung PN)Suy ra \widehat{KAN} = \widehat{APK}Tam giác KAN và tam giác KPA có chung góc K\widehat{KAN} = \widehat{APK} nên hai tam giác đồng dạng (g.g)\frac{KA}{KP} = \frac{KN}{KA} => KA2 = KN.KP