Question

[Nguyễn Bình]

Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n².

Chứng minh rằng n² + m ko là số chính phương

mọi người giải giúp em bài này với 

em sắp nộp bài rồi

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Đặt $2n^2=ma$ với $a$ là số nguyên dương

$\Rightarrow m=\frac{2n^2}{a}$

$\Rightarrow n^2+m=n^2+\frac{2n^2}{a}$

Giả sử $n^2+m=n^2+\frac{2n^2}{a})$ là scp. Đặt $n^2+\frac{2n^2}{a}=k^2(k\in\mathbb{N})$
$\Rightarrow n^2a+2n^2=ak^2$

$\Rightarrow n^2(a+2)=ak^2$

$\Rightarrow n^2(a^2+2a)=a^2k^2=(ak)^2$

Mà $a^2+2a\in\mathbb{Z}^+$ nên $\Rightarrow a^2+2a$ cũng phải là 1 scp

Hiển nhiên $a^2+2a=(a+1)^2-1< (a+1)^2$ và $a^2+2a> a^2$

$\Rightarrow a^2< a^2+2a< (a+1)^2$

Theo định lý kẹp thì $a^2+2a$ không thể là scp. Tức là điều gs là vô lý.

$\Rightarrow n^2+m$ không là scp.

Answer 2

[Vũ Việt Hùng]

Chỉ nên tham khảo thôi:

Giả sử tồn tại n,m thỏa mãn \(n^2+m\) là số chính phương

Đặt \(m=\dfrac{2n^2}{p}\)

-> \(n^2+m=n^2+\dfrac{2n^2}{p}=n^2\left(1+\dfrac{2}{p}\right)\)

->\(1+\dfrac{2}{p}\) là bình phương một số hữu tỉ

->\(1+\dfrac{2}{p}=\dfrac{p+2}{p}=\dfrac{a^2}{b^2}\) với UCLN(a,b)=1 và a>b>0

->\(\left\{{}\begin{matrix}p+2=k\cdot a^2\\p=k\cdot b^2\end{matrix}\right.\)

->\(k\cdot\left(a^2-b^2\right)=2\)

Lại có p+2 và p chia hết cho k nên (p+2)-p=2 chia hết cho k

->k=1 hoặc k=2

TH1: k=1-> \(a^2-b^2=2\)

Nếu a,b cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì \(a^2-b^2\) chia hết cho 4(vô lí)

Nếu a,b không cùng tính chẵn lẻ thì \(a^2-b^2\) lẻ (vô lí)

TH2: k=2-> \(a^2-b^2=1\)

-> a=1, b=0(vô lí)

Vậy giả sử sai, suy ra điều phải chứng minh