Question

[Thầy Cao Đô]

Cho $A'$, $B'$, $C'$ nằm trên các cạnh $BC$, $AC$, $AB$ của $\Delta $ABC, biết $AA'$, $BB'$, $CC'$ đồng quy tại $M$. Chứng minh rằng $\dfrac{AM}{A'M}=\dfrac{AB'}{CB'}+\dfrac{AC'}{BC'}$.

Answer 1

[Vũ Đức Phúc]

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $B{B}^{\prime }$ tại $D$ và cắt $C{C}^{\prime }$ tại $E$.

Khi đó 

$\Delta AME$ có $AE$ // $A^{\prime }C$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{A^{\prime }C}$ (1)

$\Delta AMD$ có $AD$ // $A^{\prime }B$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{A^{\prime }B}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{A^{\prime }C}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{A^{\prime }B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD+AE}{A^{\prime }C+A^{\prime }B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{BC}$ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\Delta A{B}^{\prime }D$ có $AD$ // $BC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{BC}$ (3)

$\Delta A{C}^{\prime }E$ có $AE$ // $BC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{BC}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}+\genfrac{}{}{0ex}{}{A{C}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{BC}+\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{BC}$ (**)

Từ (*) và (**) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}+\genfrac{}{}{0ex}{}{A{C}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}$ (đpcm).

Answer 2

[Vũ Gia Huy A]

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $B{B}^{\prime }$ tại $D$ và cắt $C{C}^{\prime }$ tại $E$.

Khi đó 

$\Delta AME$ có $AE$ // $A^{\prime }C$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{A^{\prime }C}$ (1)

$\Delta AMD$ có $AD$ // $A^{\prime }B$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{A^{\prime }B}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{A^{\prime }C}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{A^{\prime }B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD+AE}{A^{\prime }C+A^{\prime }B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{BC}$ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\Delta A{B}^{\prime }D$ có $AD$ // $BC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{BC}$ (3)

$\Delta A{C}^{\prime }E$ có $AE$ // $BC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{BC}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}+\genfrac{}{}{0ex}{}{A{C}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{BC}+\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{BC}$ (**)

Từ (*) và (**) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{A^{\prime }M}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}+\genfrac{}{}{0ex}{}{A{C}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}$ (đpcm).