Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)=\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2\)
Mà (x+1)^2>=0
(y-3)^2>=0
=> (x+1)^2+(y-3)^2>=0
CM cái sau:
Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
(áp dụng vào cái trên)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si với a,b,c>0 ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2\sqrt{c^2}=2c\)
Tương tự \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Ta có :
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1+ab-1-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{1+ab-1-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[-a\left(1+b^2\right)+b\left(1+a^2\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(-a-ab^2+b+a^2b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(ab-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\) (*)
Vì \(a.b=1\Rightarrow ab-1=0,\left(a-b\right)^2\ge0\)
Do đó (*) đúng . Vậy \(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\left(đpcm\right)\)
\(\frac{a^2}{b+c}\)+\(\frac{b+c}{4}\)=\(\frac{\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}\)>=\(\frac{4a\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}\)=a (b,c>0)
chứng minh tương tự ta có:\(\frac{b^2}{a+c}\)+\(\frac{c+a}{4}\)>=b
tương tự:\(\frac{c^2}{a+b}\)+\(\frac{a+b}{4}\)>=c
Cộng từng vế bất đẳng thức trên là được nha.Có gì ko hiểu thì hỏi mình
Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\frac{x}{y}\) + \(\frac{y}{x}\)lớn hơn hoặc bằng 2( với x,y cùng dấu)
Vì x, y cùng dấu nên \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}>0\\\frac{y}{x}>0\end{cases}}\)
Ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}\right)+2=\left(\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}\right)^2+2\ge2\)
Dấu = xảy ra khi x = y # 0
sử dụng phản chứng để chứng minh:
a và b cùng dấu => ab>=0
vậy ab lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và b cùng dấu
:))