BT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
24 tháng 5 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\frac{x\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{y}{9y^3+3z^2+x}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{y}{3}+xy}{\left(x+y+z\right)^2}\)(2); \(\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{z}{3}+yz}{\left(x+y+z\right)^2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\)\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(*)
Mặt khác, có: \(2017\left(xy+yz+zx\right)\le2017.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{2017}{3}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\le1+\frac{2017}{3}=\frac{2020}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
17 tháng 10 2020
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
KN
17 tháng 10 2020
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
9 tháng 1 2019
Ta có bđt \(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\)
\(\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)\)
Áp dụng nhiều lần bđt trên ta được
\(\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(x+2y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}\right)\)\)
\(\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right)\)\)
\(\(\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\right]\)\)
\(\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)
C/m tương tự cho các bđt còn lại
\(\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)
\(\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)\)
Cộng vế theo vế được
\(\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)\)
Dấu "=" xảy ra
\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x=6}\end{cases}}\)\)
\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{3}{2x}=6\end{cases}}\)\)
\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\)
\(\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)\)
Vậy ..........
10 tháng 1 2019
cách khác :))
\(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le3\)
\(P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\)
\(P=\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-z}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-y}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-x}\)
\(\ge\frac{9}{9\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.3}=\frac{3}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
26 tháng 5 2018
Ta có:\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\dfrac{x\left(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{x}{3}+xz}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\(Σ_{cyc}\dfrac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\dfrac{\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{x+y+z}{3}+xy+yz+xz}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\le\dfrac{\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Lại có: \(2017\left(xy+yz+xz\right)\le2017\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{2017}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{2020}{3}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Vậy ko ra yếu zzzz
TN
30 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: VT\le \sqrt{3\sum \frac{x}{z+3x}}
Ta cần chứng minh \sum \frac{x}{z+3x} \leq \frac{3}{4}
\leftrightarrow \sum \frac{3x}{z+3x} \leq \frac{9}{4}
\leftrightarrow \sum(1-\frac{3x}{z+3x}) \geq \frac{3}{4}
\leftrightarrow \sum \frac{z}{z+3x} \geq \frac{3}{4}
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\sum \frac{z}{z+3x}=\sum \frac{z^2}{z^2+3xz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+zx} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{4}
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
P/s:OLM chặn paste r` mà có vài công thức OLM ko có nên mk ko paste dc đành gõ = latex thông cảm, trách thì trách OLM, ko hiểu dc thì bảo Ad dịch hộ
ML
14 tháng 11 2015
Áp dụng \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{x+z+y+z}\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
KN
26 tháng 12 2019
Ta có: \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow x^2=yz\))
Theo đề: x + y + z = 3\(\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)
Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\);\(\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên,ta được:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)\(+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)\(+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
N
26 tháng 12 2019
We have:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}}{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+1}\)
Dat \(\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}};\frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\right)=\left(a;b;c\right)\)
Consider:
\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\)
Now we need to prove:
\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1}\ge2\left(M\right)\)
\(VT_M\ge\frac{9}{a+b+c+3}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}+3}=2\)
Sign '=' happen when \(\hept{\begin{cases}x=y=z=1\\a=b=c=\frac{1}{2}\end{cases}}\)