Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\le\frac{1+x-1}{x}+\frac{2+y-2}{2y}+\frac{3+z-3}{3z}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-3}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
Vậy \(A_{max}=\frac{11}{6}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
Xin lỗi bạn. Bài đó mk lm sai rồi.
Sửa:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\frac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}.y}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}.z}\le\frac{\frac{1+x-1}{2}}{x}+\frac{\frac{2+y-2}{2}}{\sqrt{2}.y}+\frac{\frac{3+z-3}{2}}{\sqrt{3}.z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2.\sqrt{2}}+\frac{1}{2.\sqrt{3}}\)\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2.\sqrt{6}}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=\sqrt{2}\\\sqrt{z-3}=\sqrt{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
Vậy \(A_{max}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2.\sqrt{6}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)
mà \(x\left(y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{16}{16}=1\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{9}=1.\)(đpcm)
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
( áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\))
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\right)[(x^2+2yz)+(y^2+2xz)+(z^2+2xy)]\geq (1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq \frac{9}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=\frac{9}{3^2}=1\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
1,theo giả thiết => \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)
mà \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)
=>\(x+y+z=< 3\)
ta có:\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}>=\frac{9}{x+y+z+6}=1\)(cauchy schwarz)
Áp dụng BĐT Mincopxki và AM - GM ta có :
\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\sqrt[2]{\left(x+y+z\right)^2.\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+80}}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!