K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 5 2017
Xem lại đề đi bạn. Thấy có vẻ sai sai sao ấy Kan Zandai Nalaza
NT
3
M
19 tháng 8 2023
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược (Proof by Contradiction). Giả sử bất đẳng thức trên không đúng, tức là: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) + (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) > x + y + z Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: (5x^3 - y ^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) - y + (5z^3 - x^3 )/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Tiếp theo, ta nhận thấy rằng với mọi a, b > 0, ta luôn có: (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - a > 0 and (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - b > 0. Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức trên từng phần thức trong tổng, ta có: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x > 0 (5y ^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z ^3) - y > 0 (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Khi đặt a = x^3, b = y^3, c = z^3, ta có: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) - a^(1/3) > 0 (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) - b^(1/3) > 0 (5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) - c^(1/3) > 0 Nói cách khác, ta có các bất đẳng thức sau: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) > a^(1/3) (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) > b^(1/3) ( 5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) > c^( 1/3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3a^2 + ab + 5b ≥ 3∛(15a^2b) 3b^2 + bc + 5c ≥ 3∛(15b^2c) 3c^2 + ac + 5a ≥ 3∛(15c^2a) Khi đặt A = 3a^2 + ab + 5b, B = 3b^2 + bc + 5c, C = 3c^2 + ac + 5a, ta có: A > a ^ (1/3) B > b^(1/3) C > c^(1/3) Từ đó, ta có: (A + B + C) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Nhưng A, B, C lần lượt tương ứng với các số mẫu trong bất đẳng thức ban đầu, ta thu được: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) + (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) + (5c - a)/(3c^ 2 + ac + 5a) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Tuy nhiên, điều này trái với giả định ban đầu.
LT
1
HN
1 tháng 11 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2x-y=2\\yz-3y-2z=3\\xz-3x-z=13\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy \(z=3\) không phải là nghiệm của hệ.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x.\dfrac{3+2z}{z-3}-2x-\dfrac{3+2z}{z-3}=2\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\xz-3x-z=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\z.\dfrac{4z-3}{9}-3.\dfrac{4z-3}{9}-z=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\z^2-6z-27=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\\left(z-9\right)\left(z+3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=9\\x=\dfrac{11}{3}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}z=-3\\x=-\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
UK
4 tháng 11 2017
T nghĩ là Max
Áp dụng Bunyakovsky, ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
\(x+y+z\le\sqrt{3}\)
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=1\)
\(M\text{ax}_P=1+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
KN
15 tháng 12 2019
Áp dụng AM - GM:
\(2x^2+\frac{1}{2}z^2\ge2\sqrt{2x^2.\frac{1}{2}z^2}=2xz\)
\(2y^2+\frac{1}{2}z^2\ge2\sqrt{2y^2.\frac{1}{2}z^2}=2yz\)(x,y,z dương)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
Cộng từng vế của các BĐT trên:
\(T\ge2\left(xy+yz+xz\right)=10\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=1;y=1;z=2\))
7 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2\cdot\dfrac{4}{9}+y^2\cdot\dfrac{4}{9}\ge\dfrac{8xy}{9}\)
\(x^2\cdot\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+z^2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\ge\dfrac{8xz}{9}\)
\(y^2\cdot\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+z^2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\ge\dfrac{8yz}{9}\)
CỘng theo vế 3 BĐt trên ta có:
\(\dfrac{2}{9}\left(10x^2+10y^2+z^2\right)\ge\dfrac{8\left(xy+yz+xz\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\left(xy+yz+xz\right)=4\)
B
0