Question

[Hàn Phong Nhi]

Xét 20 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất là với mỗi cách lấy ra k số khác nhau từ 20 số trên ,đều lấy được hai số a ,b khác nhau sao cho a+b là số nguyên tố

Answer 1

[Huỳnh Gia Bảo]

_20 số nguyên dương đầu tiên là: 1; 2; 3; ...; 20
Dãy số trên có 10 số nguyên dương chẵn. Khi cộng 2 số nguyên a,b bất kì trong dãy số trên sao cho a+b là số nto thì a+b không vượt quá 19+20 = 39.  Có tất cả 12 số nguyên tố không vượt quá 39 

*Nếu k không vượt quá 10 thì khi chọn 10 số bất kì trong dãy số trên, sẽ có trường hợp các số được chọn toàn là số chẵn hoặc số lẻ. 
 Do đó:  a + b  =  2n + 2k  =  2(n+k).   Mà n, k không vượt quá 2  =>  n+k không vượt quá 4. => (n+k)>2  => 2(n+k) > 2. Mà 2(n+k) chẵn
  => 2(n+k) không thể là số nguyên tố => a+b ko là số n.tố     (loại)
  Hoặc:  a + b = 2n+1 + 2k+1 = 2n + 2k + 1 = 2(n+k+1) > 2 và là số chẵn 
  =>  a + b không phải là số nguyên tố   (loại)           

*Nếu k lớn hơn 10 thì k số nguyên đc chọn sẽ có ít nhất 1 số lẻ, ít nhất 1 số chẵn.  
  Nếu trong đó chọn đc 1 số lẻ, còn lại là các số chẵn liên tiếp thì khi cộng số lẻ đó với từng số chẵn, tất cả tổng thu đc là các số lẻ liên tiếp.  =>  Sẽ tồn tại ít nhất 1 số nguyên tố.
  Nếu trong đó chọn đc 1 số chẵn, còn lại là các số lẻ liên tiếp thì khi cộng số chẵn đó với từng số lẻ, tất cả tổng thu đc là các số lẻ liên tiếp.  =>  Sẽ tồn tại ít nhất 1 số nguyên tố.
  Nếu trong đó có nhiều hơn 1 số chẵn và nhiều hơn 1 số lẻ, thì khi cộng 1 số chẵn và 1 số lẻ bất kì trong chúng sẽ tạo đc ít nhất 18 tổng số lẻ. (Xét trường hợp ít nhất 2 số lẻ, 9 số chẵn hoặc 2 chẵn, 9 lẻ). Mà 18 > 12  => Trong đó sẽ tồn tại số nguyên tố.

Vậy các số k thỏa mãn là 10  < k < 20  (k thuộc N)
Vậy số k nhỏ nhất là 11.
  

Answer 2

[Bùi Ngọc Minh Hà]

Huỳnh Gia Bảo trong trường hợp k không quá 10, nếu số chẵn cộng số lẻ thì sao?