Question

[Truyen Vu Cong Thanh]

x² - 2y² = 5

Chứng minh phương trình có nghiệm nguyên.

Answer 1

[Phước Nguyễn]

\(x^2-2y^2=5\)  \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2=5+2y^2\)

Do  \(2y^2\)  là số chẵn (vì chia hết cho  \(2\))  \(\Rightarrow\)  \(5+2y^2\)  là một số lẻ

nên từ phương trình  \(\left(1\right)\)  với lưu ý trên, ta suy ra được  \(x^2\)  phải là số lẻ hay  \(x\)  là số lẻ

Tức là  \(x\)  phải có dạng  \(x=2k+1\)  (với  \(k\in Z\))

Khi đó, thay vào phương trình  \(\left(1\right)\), ta được:

\(\left(2k+1\right)^2-2y^2=5\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4k^2+4k+1-2y^2=5\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4k^2+4k-4=2y^2\)  

\(\Leftrightarrow\)  \(2k^2+2k-2=y^2\)  \(\left(2\right)\)

Xét  \(VT\)  của phương trình  \(\left(2\right)\)  có  \(2k^2+2k-2=2\left(k^2+k-1\right)\)  chia hết cho  \(2\)

nên   \(VP\)  cũng phải chia hết cho  \(2\), tức  \(y^2\)  phải chia hết cho  \(2\)  hay  \(y\)  chia hết cho  \(2\)

Từ phương trình  \(\left(2\right)\)  với chú ý rằng, đặt  \(y=2q\)  \(\left(q\in Z\right)\)  (do  \(y\)  là số chẵn), ta được:

\(2\left(k^2+k-1\right)=4q^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(k^2+k-1=2q^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(k\left(k+1\right)=2q^2+1\)

Nhận xét:  \(k\left(k+1\right)\)  là hai số nguyên liên tiếp nên  \(k\left(k+1\right)\)  là số chẵn với mọi  \(k\in Z\) 

          Mà   \(2q^2+1\)  lại là một số lẻ (vô lý)

Vậy,  phương trình   \(\left(1\right)\)  vô nghiệm!