Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b: \(PT\Leftrightarrow x^2+\left(m-3\right)x-m=0\)
\(\text{Δ}=\left(m-3\right)^2+4m\)
\(=m^2-6m+9+4m\)
\(=m^2-2m+1+8=\left(m-1\right)^2+8>0\)
Do đó: PT luon có hai nghiệm phân biệt
\(\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}=\dfrac{2x_1+2x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2\cdot\left(-m+3\right)}{-m}=\dfrac{-2m+6}{-m}\)
\(\dfrac{4x_2}{x_1}+\dfrac{4x_1}{x_2}=\dfrac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)}{x_1x_2}\)
\(=\dfrac{4\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4\left(-m+3\right)^2-8\cdot\left(-m\right)}{-m}\)
\(=\dfrac{4\left(m-3\right)^2+8m}{-m}\)
\(=\dfrac{4m^2-24m+36+8m}{-m}=\dfrac{4m^2-16m+36}{-m}\)
c: \(A=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}+1\)
\(=\sqrt{\left(-m+3\right)^2-4\cdot\left(-m\right)}+1\)
\(=\sqrt{m^2-6m+9+4m}+1\)
\(=\sqrt{m^2-2m+1+8}+1\)
\(=\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}+1\ge2\sqrt{2}+1\)
Dấu '=' xảy ra khi m=1
\(a+b+c=1-2\left(m+3\right)+2m+5=0\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)
Để 2 nghiệm của pt thỏa mãn yêu cầu của đề bài \(\Rightarrow x_2>0\Rightarrow2m+5>0\Rightarrow m>\dfrac{-5}{2}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2m+5}}=\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2m+5}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow2m+5=9\Rightarrow m=2\)
Lời giải:
Để PT có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì:
\(\Delta'=(m+2)^2-(m^2+m+3)>0\)
\(\Leftrightarrow 3m+1>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{3}\)
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+2)\\ x_1x_2=m^2+m+3\end{matrix}\right.\)
\(x_1x_2=m^2+m+3=(m+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}\neq 0, \forall m>\frac{-1}{3}\) nên $x_1,x_2\neq 0$ với mọi \(m> \frac{-1}{3}\).
Khi đó:
\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=6\Rightarrow (x_1+x_2)^2=6x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow 4(m+2)^2=6(m^2+m+3)\)
\(\Leftrightarrow 2m^2-10m+2=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\) (thỏa mãn)
Lời giải:
Trước tiên để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:
\(\Delta=(2-m)^2-4(m+3)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-8m-8>0(*)\)
Áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2-m\\ x_1x_2=m+3\end{matrix}\right.\)
ĐK \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{3}{2}\) trước tiên đòi hỏi $x_1,x_2\neq 0$ hay \(m+3\neq 0\Rightarrow m\neq -3\)
Khi đó: \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(2-m)^2-2(m+3)}{m+3}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(2-m)^2}{m+3}=\frac{7}{2}\Rightarrow 2(2-m)^2=7(m+3)\)
\(\Rightarrow 2m^2-15m-13=0\)
\(\Rightarrow m=\frac{15\pm \sqrt{329}}{4}\). Kết hợp với đk $(*)$ ta thấy không tồn tại $m$ thỏa mãn
Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=25-4\left(m-2\right)>0\\P=5>0\\S=m-2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 8,25\\5>0\\m>2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2< m< 8,25\)
Theo vi-et thì ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{2}{\sqrt{x_1x_2}}+\dfrac{1}{x_2}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\dfrac{2}{\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{m-2}+\dfrac{2}{\sqrt{m-2}}=\dfrac{9}{4}\)
Đặt \(\dfrac{1}{\sqrt{m-2}}=a>0\) thì ta có
\(5a^2+2a-2,25=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-0,9\left(l\right)\\a=0,5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{m-2}}=0,5=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow m-2=4\)
\(\Leftrightarrow m=6\)
\(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2+4=0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta=-8m-12\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)
Theo định lý Viet
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+x_2\right)^2=4\left(m-1\right)^2\\x_1x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)
Theo yêu cầu đề bài \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2_1+x^2_2}{x_1x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(m-1\right)^2-2\left(m^2+4\right)}{m^2+4}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(m^2-2m+1\right)-2m^2-8}{m^2+4}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m^2-8m-4}{m^2+4}=3\)
\(\Leftrightarrow2m^2-8m-4=3m^2+12\)
\(\Leftrightarrow m^2+8m+16=0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta=0\)
\(\Rightarrow m=-\dfrac{b}{2a}=-4\)
\(\text{Δ}=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-4\right)\)
\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4\left(m-4\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m+16\)
\(=4m^2+4m+20=\left(2m+1\right)^2+19>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-4\end{matrix}\right.\)
Để Phương trình có hai nghiệm đều dương thì
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+1\right)>0\\m-4>0\end{matrix}\right.\)
=>\(m>4\)
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6\)
=>\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6\)
=>\(\dfrac{2\left(m+1\right)}{m-4}=6\)
=>6(m-4)=2(m+1)
=>3(m-4)=m+1
=>3m-12=m+1
=>2m=13
=>\(m=\dfrac{13}{2}\left(nhận\right)\)