Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: p4 – q4 = (p4 – 1 ) – (q4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5
Chứng minh p4 – 1 240
- Do p >5 nên p là số lẻ
+ Mặt khác: p4 –1 = (p –1) (p + 1) (p2 +1)
--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8
+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ -> p2 +1 2
- p > 5 nên p có dạng:
+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3 --> p4 – 1 3
+ p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p4 – 1 3
- Mặt khác, p có thể là dạng:
+ P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p4 – 1 5
+ p = 5 k+ 2 --> p2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 5 --> p4 – 1 5
+ p = 5k +3 --> p2 +1 = 25k2 + 30k +10 --> p4 –1 5
+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p4 – 1 5
Vậy p4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1 240
Tương tự ta cũng có q4 – 1 240
Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1) = p4 – q4 240
mk nha các bạn !!!
P là số nguyên tố và p>3 => p+5, p+7 là sô chẵn đặt p+5=2k=> p+7=2k+2=>(p+5)(p+7)= 2k(2k+2)= 2k2(k+1)= 4k(k+1) chia hết cho 8
( vì k(k+1) chia hết cho 2 với mọi k thuộc n)
P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3n+1 hoặc 3n+2
. Xét P= 3n+1=> (p+5)(p+7)= (3n+6)(3n+8) chia hết cho 3 với mọi n thuộc N
. xét p=3n+2=> (p+5)(p+7)= (3n+7)(3n+9) chia hét cho 3 với mọi n thuộc N
(p+5)(p+7) chia hết cho 8 và 3=> (p+5)(p+7) chia hết cho 24
cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.chứng minh (p+5)(p+7) chia hết cho 24
các bạn giải hộ mình vs
.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................
a
\(A=2+2^2+2^3+.....+2^{30}\)
\(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^3\right)+.....+2^{28}\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=2\cdot7+2^4\cdot7+....+2^{28}\cdot7⋮7\)
b
Câu hỏi của Bùi Minh Quân - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bài này chỉ sử dụng nhận xét này là xong
Nhận xét: Số chính phương chỉ chia ba dư 0 hoặc 1
Chứng minh như sau:
Xét số tự nhiên p, ta thấy p chỉ có 3 dạng p=3k,p=3k+1,p=3k+2 với k là số tự nhiên
Nếu p=3k thì p2=9k2 chia hết cho 3
Nếu p=3k+1 thì p2=(3k+1)2=(3k+1)(3k+1)=9k2+6k+1 chia 3 dư 1
Nếu p=3k+2 thì p2=(3k+2)2=(3k+2)(3k+2)=9k2+12k+4 chia 3 dư 1
Thế cho nên với p là số tự nhiên bất kì thì p2 chia 3 dư 1 hoặc 0
Bước chứng minh hoàn tất
Bây giờ áp dụng vào bài toán
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3
Vậy theo nhận xét vừa rồi ta có p2 chia 3 dư 1 (vì p không chia hết cho 3)
Do đó p2-1 chia hết cho 3
À mà mình có cách này ngắn hơn cách trước
Ta có bước phân tích sau:p2-1=(p2+p)+(-p-1)=p(p+1)-(p+1)=(p+1)(p-1)
Vậy thì p2-1=(p+1)(p-1)
Nhân p vào hai vế ta được p(p2-1)=(p-1)p(p+1)
Lúc này ta có (p-1),p,(p+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp
Thế cho nên có ít nhất một số chia hết cho 3 trong ba số trên
Do đó (p-1)p(p+1) chia hết cho 3
Do đó p(p2-1) chia hết cho 3
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên hiển nhiên không chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3