Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
p ko chia hét cho 3 nên p chia 3 dư 1 =>p^2-1 chia hết cho 3
p^2 chia 8 dư 0,1,4.Nhưng p nguyên tố nên p^2 chia 8 dư 1 =>p^2-1 chia hết cho 8
mà (3;8)=1 nên ta cố dpcm
p^2 - 1 = (p-1)(p+1)
Do là snt => p ko chia hết 2 => p-1,p+1 là 2 số chia hết 2 liên tiếp => 1 số chia hết 2, 1 số chia hết 4
=> p^2 - 1 chia hết 8
Cũng do là snt => p không chia hết 3 nên trong 3 số liên tiếp p-1,p,p+1 có p-1 hoặc p+1 chia hết 3
Mà (3,8) = 1 nên p^2 - 1 chia hết 3.8=24
2/ Ta chú ý cái này:
\(10^{100}=999...999+1=9.111...111+1\)
\(222...222=2.111...111\)
Ta đặt \(111...111=n\)
\(\Rightarrow111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)
\(=111...111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)
\(=n\left(9n+1\right)+2n=9n^2+3n=3n\left(3n+1\right)\)
Vậy \(111...111222...222\)là tích của 2 số tự nhiên liến tiếp
1/ Ta có: \(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) là tích của 2 số chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\left(1\right)\)
Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p có 2 dạng là: \(\orbr{\begin{cases}3k+1\\3k+2\end{cases}}\)
Với \(p=3k+1\)
\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k=3k\left(3k+2\right)⋮3\)
Với \(p=3k+1\)
\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+12k+3=3\left(3k^2+4k+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow p^2-1⋮3\left(2\right)\)
Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2)
\(\Rightarrow p^2-1⋮\left(3.8=24\right)\)
+) n là số nguyên tố > 5
=> n có dạng 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4
Có: ( 5k + 1)^4 và 1^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 2 )^4 và 2^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 3 )^4 và 3^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 4 )^4 và 4^4 có cùng số dư khi chia cho 5
mà 1^4 - 1; 2^4-1; 3^4-1 ; 4^4 - 1 chia hết cho 5
=> n^4 - 1 chia hết cho 5 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (1)
+) n^4 - 1 = ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 ) = ( n - 1 ) ( n + 1 ) (n^2 + 1 )
n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n là số lẻ => ( n - 1) ( n + 1 ) chia hết cho 8 ; n^2 + 1 chia hết cho 2
=> n^4 - 1 chia hết cho 16 (2)
+) n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n có dạng 6k + 1; 6k + 5
Nếu n = 6k + 1 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) = 6k ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Nếu n = 6k + 5 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( 6k + 6 ) ( n^2 + 1 ) = 6 ( n - 1 ) ( k + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Vậy n^4 - 1 chia hết cho 3 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (3)
Từ (1); (2); (3) và 5; 16; 3 đôi 1 nguyên tố cùng nhau
=> n^4 - 1 chia hết cho tích 5.16.3
=> n^4 - 1 chia hết cho 240
Bài giải
Ta có: n2 - 1 và n2 + 1 (n không chia hết cho 3, n > 2, n \(\in\)N gì đó)
Xét n:
Vì n không chia hết cho 3
Suy ra n2 chia 3 dư 1
Xét ba số tự nhiên liên tiếp: n2 - 1; n2; n2 + 1
Vì n2 chia 3 dư 1
Nên n2 - 1 \(⋮\)3
Suy ra n2 - 1 là hợp số
Vậy...
\(n\) lớn hơn 2 và ko chia hết cho 3 nên \(n\) tồn tại dưới 2 dạng là 3k+1 hoặc 3k+2.
Nếu \(n\) có dạng 3k + 2
n2 + 1 = ( 3k + 2 )2 + 1 = 9k2 + 12k + 5
n2 - 1 = 9k2 + 12k + 3 chia hết cho 3
=> Ko thể đồng thời là số nguyên tố
Nếu n có dạng 3k + 1
n2 + 1= ( 3k + 1 )2 + 1 = 9k2 + 6k + 2
n2 - 1= ( 3k + 1 )2 - 1 = 9k2+ 6k chia hết cho 3
=> Ko thể đồng thời là số nguyên tố
Vậy với n thuộc N , n > 2 và ko chia hết cho 3 thì n2 + 1 và n2- 1 ko thể đồng thời là số nguyên tố.
Chúc học tốt!!!
Ta có : p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)p2−1=(p−1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6m+16m+16m+1 hoặc 6m−16m-16m−1
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng 6m±1,6m±2,6m±36m\pm1,6m\pm2,6m\pm36m±1,6m±2,6m±3
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng 6m±16m\pm16m±1
Xét với số nguyên tố $p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24
Ta có : p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)p2−1=(p−1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6m+16m+16m+1 hoặc 6m−16m-16m−1
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng 6m±1,6m±2,6m±36m\pm1,6m\pm2,6m\pm36m±1,6m±2,6m±3
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng 6m±16m\pm16m±1
Xét với số nguyên tố $p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24