Question

[Bùi Cẩm Nhung]

 Với n nguyên dương (n≥2), đặt: \(p_n=\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)...\left(1-\frac{1}{1+2+3+...+n}\right)\)nsao cho  1Pnnguyên dương (n≥2) đặ

Tìm tất cả các số nguyên dương n(n≥2) sao cho \(\frac{1}{p_n}\) là một số nguyên 

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(p_n=(1-\frac{1}{1+2})(1-\frac{1}{1+2+3})....(1-\frac{1}{1+2+3+...+n})\\ =(1-\frac{1}{\frac{2.3}{2}})(1-\frac{1}{\frac{3.4}{2}})....(1-\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}})\\ =(1-\frac{2}{2.3})(1-\frac{2}{3.4})....(1-\frac{2}{n(n+1)})\)

Xét thừa số tổng quát:

$1-\frac{2}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)-2}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}$

Áp dụng vào tất cả các thừa số của $p_n$ suy ra:

$p_n=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}....\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}$

$=\frac{[1.2.3...(n-1)][(4.5.6....(n+2)]}{[2.3.4...n][3.4.5...(n+1)]}$

$=\frac{1.2.3...(n-1)}{2.3.4...n}.\frac{4.5.6...(n+2)}{3.4.5....(n+1)}$

$=\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}$

$=\frac{n+2}{3n}$

$\frac{1}{p_n}=\frac{3n}{n+2}$

Với $n$ nguyên dương, để $\frac{1}{p_n}$ là 1 số nguyên thì:

$3n\vdots n+2$

$\Rightarrow 3(n+2)-6\vdots n+2$

$\Rightarrow 6\vdots n+2$

$\Rightarrow n+2=6$ (do $n$ là số nguyên dương $\geq 2$)

$\Rightarrow n=4$