Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(2^3\equiv -1\pmod 9\Rightarrow (2^3)^{2n+1}\equiv (-1)^{2n+1}\equiv -1\equiv 8\pmod 9\)
hay \(2^{6n+3}\equiv 8\pmod 9\)
Đặt \(2^{6n+3}=9k+8\)
Vì $2^{6n+3}$ chẵn nên $9k+8$ chẵn, do đó $k$ chẵn. Đặt $k=2t$
Khi đó: \(2^{2^{6n+3}}+3=2^{9k+8}+3=2^{18t+8}+3\)
Theo định lý Fermat nhỏ:
\(2^{18}\equiv 1\pmod{19}\Rightarrow 2^{18t+8}+3\equiv 2^8+3=259\equiv 12\pmod {19}\)
Vậy \(2^{2^{6n+3}}+3\) chia $19$ dư $12$ chứ không chia hết cho $19$
+\(n=5k\)
\(P=4.5k^3+6.5k^2+3.5k-17\) không chia hết cho 5
+\(n=5k+1\)
\(P=4\left(5k+1\right)^3+6\left(5k+1\right)^2+3\left(5k+1\right)-17\)
\(=4\left(125k^3+75k^2+15k+1\right)+6\left(25k^2+10k+1\right)+15k+3-17\)
\(=4.125k^3+18.25k^2+135k-4\)không chia hết cho 5
+ tương tự ...........
Mình mới chỉ có thế thôi , chưa nghĩa ra cách khác ..
Ta có : \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) ⇒ \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1\right)\)
\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\dfrac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) ⇒ \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1;2\right)\text{⇒ }đpcm\)
a/
\(A=\frac{n^2\left(n^2+2\right)+3n\left(n^2+2\right)-2}{n^2+2}=n^2+3n-\frac{2}{n^2+2}\)
A nguyên => \(\frac{2}{n^2+2}\) nguyên \(\Rightarrow n^2+2\in\text{Ư}\left(2\right)=\left\{-1;1;2;-2\right\}\)
Do \(n^2+2\ge2\) nên \(n^2+2=2\Leftrightarrow n=0\)
Vậy n = 0 thì A nguyên.
b/ Ta chứng minh \(B=n^5-n+2\) không là số chính phương với mọi n.
Xét \(M=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Nhận xét: n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên tích của chứng chia hết cho 2 => M⋮2
+Nếu n⋮5 thì M⋮5.
+Nếu n chia 5 dư 1 thì (n-1)⋮5 => M⋮5.
+Nếu n chia 5 dư 2 thì n2 chia 5 dư 4 => (n2+1)⋮5 => M⋮5.
+Nếu n chia 5 dư 3 thì n2 chia 5 dư 9 tức dư 4 => (n2+1)⋮5 => M⋮5
+Nếu n chia 5 dư 4 thì (n+1)⋮5 => M⋮5
Vậy M⋮5
Suy ra M⋮10 với mọi số tự nhiên n
=> M có tận cùng là 0.
=> B = M+2 có tận cùng là 2.
Mà số chính phương chỉ có tận cùng là 0; 1; 4; 6; 9
=> B không phải là số chính phương với mọi n.