Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=a;\frac{5+\sqrt{21}}{2}=b>0\) thì \(ab=1\)
*Chứng minh an là số tự nhiên.
Với n = 0, 1 nó đúng. Giả sử nó đúng đến n = k tức là ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^{k-1}+b^{k-1}\inℤ\\a^k+b^k\inℤ\end{cases}}\). Ta cần chưng minh nó đúng với n = k + 1 hay:
\(a^k.a+b^k.b=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\)
\(=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\inℤ\) (em tắt tí nhá, dựa vào giả thiết quy nạp thôi)
Vậy ta có đpcm.
Còn lại em chưa nghĩ ra
Ta có:
\(1-a_1\ge a_2+a_3+...+a_n\ge\left(n-1\right)\sqrt[n-1]{a_2a_3...a_n}\)
\(1-a_2\ge a_1+a_3+...+a_n\ge\left(n-1\right)\sqrt[n-1]{a_1a_3...a_n}\)
....
\(1-a_n\ge a_1+a_2+...+a_{n-1}\ge\left(n-1\right)\sqrt[n-1]{a_1a_2...a_{n-1}}\)
Nhân vế với vế:
\(\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right)...\left(1-a_n\right)\ge\left(n-1\right)^n.a_1a_2...a_n\)
\(\Leftrightarrow\frac{a_1a_2...a_n}{\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right)...\left(1-a_n\right)}\le\frac{1}{\left(n-1\right)^n}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a_1=a_2=...=a_n=\frac{1}{n}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si với n số dương ta được
\(a_1+a_2+...+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1.a_2....a_n}\)
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}.\frac{1}{a_2}....\frac{1}{a_n}}\)
Suy ra \(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2.\sqrt[n]{1}=n^2\)
(dấu "=" xẩy ra <=> a1=a2 =...=an)
Theo bat dang thuc cauchy ta co
a1+a2+...+an lon hon hoc bang n.can bac n cua (a1.a2....an) (1)
1/a1+1/a2...1/an lon hon hoac bang n.1/can bac n cua (a1.a2...an) (2)
Nhan 2 ve (1) va (2) ta duoc
(a1+a2+...+an).(1/a1+1/a2+...1/an) lon hon hoac bang n tren 2
=>1/a1+1/a2+...1/an lon hon hoac bang n tren 2/a1+a2+...+an
Dau bang xay ra khi a1=a2=...=an
Mk giai co hieu ko
Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:
\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)