Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .
Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)
Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)
\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
Ta có \(-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\ge-\dfrac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2}}=\dfrac{4ab^2}{4b}=ab\)
\(-\dfrac{4a^2b}{4a^2+1}\ge-\dfrac{4a^2b}{2\sqrt{4a^2}}=\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\)
Mà \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4a^2+1}\ge a-ab+b-ab=4ab-2ab=2ab\)
Mà \(a+b=4ab\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
ĐK $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b=4$. CMR:
$P=\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y^2}{x(y^2+4)}\geq \frac{1}{2}$
-----------------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y(x^2+4)}{64}\geq \frac{x}{4}$
$\frac{y^2}{x(y^2+4)}+\frac{x(y^2+4)}{64}\geq \frac{y}{4}$
Cộng theo vế và rút gọn:
$P\geq \frac{3(x+y)-xy}{16}=\frac{12-xy}{16}$
Mà $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=4$
$\Rightarrow P\geq \frac{12-4}{16}=\frac{1}{2}$
Ta có đpcm.
Lời giải:
$a^4-4a=b^4-4b$
$\Leftrightarrow (a^4-b^4)-(4a-4b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a^2+b^2)-4(a-b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-4]=0$
$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)-4=0$ (do $a-b\neq 0$ với mọi $a,b$ phân biệt)
$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)=4>0$
Mà $a^2+b^2>0$ với mọi $a,b$ phân biệt nên $a+b>0$
Mặt khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$4=(a+b)(a^2+b^2)\geq (a+b).\frac{(a+b)^2}{2}$
$\Rightarrow 8> (a+b)^3$
$\Rightarrow 2> a+b$
Vậy $0< a+b< 2$
Ta có đpcm.