Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Sigma\frac{1}{6+a}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{6+a}\ge\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+b}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+c}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+d}\right)\)
\(=\frac{b}{6\left(6+b\right)}+\frac{c}{6\left(6+c\right)}+\frac{d}{6\left(6+d\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{6\left(6+b\right).6\left(6+c\right).6\left(6+d\right)}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\)
tương tự \(\frac{1}{6+b}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(6+a\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\)
\(\frac{1}{6+c}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+d\right)}}\)
\(\frac{1}{6+d}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)}}\)
Nhân các vế lại với nhau đc
\(\frac{1}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}\ge\frac{1}{16}.\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}\right)^3}\)
\(\Rightarrow\frac{abcd}{16}\le1\)
\(\Rightarrow abcd\le16\)
Dấu "=" tại a = b = c = d = 2
Ta có \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2}\)
\(\frac{d}{1+a^2}\ge d-\frac{ad}{2}\)
Lại có \(ab+bc+cd+da\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\)
Do đó \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac{ab+bc+cd+da}{2}\)
\(\ge4-\frac{4}{2}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=d=1\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Bđt thức phụ : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng ta được :
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)(đpcm)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
\(\Sigma\frac{1}{6+a}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{6+a}\ge\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+b}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+c}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6+d}\right)\)
\(=\frac{b}{6\left(6+b\right)}+\frac{c}{6\left(6+c\right)}+\frac{d}{6\left(6+d\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{6\left(6+b\right).6\left(6+c\right).6\left(6+d\right)}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{6+b}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(6+a\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\)
\(\frac{1}{6+c}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+d\right)}}\)
\(\frac{1}{6+d}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)}}\)
Nhận các vế với nhau ta được :
\(\frac{1}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}\ge\frac{1}{16}.\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}\right)^3}\)
\(\Rightarrow\frac{abcd}{16}\le1\)
\(\Rightarrow abcd\le16\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)
Chúc bạn học tốt !!
\(\frac{1}{6+a}\ge\frac{1}{6}-\frac{1}{6+b}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6+c}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6+c}\)
\(\frac{1}{6+a}\ge\frac{b}{6\left(6+b\right)}+\frac{c}{6\left(6+c\right)}+\frac{d}{6\left(6+d\right)}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{6+b}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(6+a\right)\left(6+c\right)\left(6+d\right)}}\) ; \(\frac{1}{6+c}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+d\right)}}\)
\(\frac{1}{6+d}\ge\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(6+a\right)\left(6+b\right)\left(6+c\right)}}\)
Nhân vế với vế và rút gọn:
\(1\ge\frac{abcd}{16}\Rightarrow abcd\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)