NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 4 2019
Hmm , bài này trông quen quen , trong cuốn "các bài giảng về bđt Cô-si" của Phạm Văn Hùng ; Nguyễn Vũ Lương , Nguyễn Ngọc Thắng thì phải . Mình đọc rồi mà quên mất tiêu =( Để nghĩ lại coi nha
28 tháng 4 2019
Bạn ơi , mình không có quyển đó, bạn cố nhớ lại giúp mình với , huhu , thứ 6 là mình phải nộp rồi
9 tháng 1 2019
Ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu
Ta có: \(\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left[\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{a+1}\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{a+1}\right)\) (1)
CMT2 được: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) (2)
\(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) (3)
Cộng (1);(2) và (3) vế theo vế
Ta được: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)+\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)
=> đpcm
10 tháng 3 2018
a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 - 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 - 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm
b) a^2 +b^2 +1 >= ab +a+b (1)
<=>2a^2 +2b^2 +2 -2ab -2a-2b >=0
<=>[a^2 +b^2 -2ab ] +[a^2 -2a +1] +[b^2 -2b +1 ] >=0
<=>(a -b)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 >=0 (2)
(2) đúng (1) đúng => dpcm
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
3 tháng 11 2019
\(VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)
Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)
\(\Rightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng bdt Cauchy ta có :
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)--\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Chúc bạn học tốt !!!
12 tháng 10 2019
\(VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)
Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)
\(\Rightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng Cô-si 4 số ta được
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.1}=4ab^2\)
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{b^4.c^4.c^4.1}=4bc^2\)
\(c^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{c^4.1.1.1}=4c\)
\(1+1+a^4+a^4\ge4\sqrt[4]{1.1.a^4.a^4}=4a^2\)
Cộng từng vế của các bđt trên lại ta được
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+7\ge4ab^2+4bc^2+4c+4a^2\)
\(\Leftrightarrow3.3+7\ge4\left(ab^2+bc^2+c+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+c+a^2\le4\)
Dấu "=" khi a = b = c = 1
Vậy ..........
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab^2+bc^2+c+a^2\le\frac{a^2+b^4+b^2+c^4+c^2+1+a^4+1}{2}\le\frac{\frac{a^4+1+b^4+1+c^4+1}{2}+a^4+b^4+c^4+2}{2}=\frac{\frac{3+3}{2}+3+2}{2}=\frac{8}{2}=4\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đpcm