Question

[Natsu Dragneel]

Với a, b, c là các số thực thỏa mãn

(3a + 3b + 3c)³ = 24 + (3a +b - c)³ + (3b + c - a)³ + (3c - a + b)³

CMR : (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Đặt \((3a+b-c,3b+c-a,3c+a-b)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+3b+3c=x+y+z\\ a+2b=\frac{x+y}{2}\\ b+2c=\frac{y+z}{2}\\ c+2a=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành:

Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn \((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

CMR: \((x+y)(y+z)(x+z)=8\)

------------------------------------------------

Áp dụng HĐT \(m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)\) ta có:

\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y+z)^3-3xy(x+y)-3z(x+y)(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow 3(x+y)[z(x+y+z)+xy]=24\)

\(\Leftrightarrow (x+y)[z(y+z)+x(z+y)]=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(z+x)(z+y)=8\) (đpcm)