Question

[Hiếu Nguyễn]

• ​Bai1:tìm tất cả các đa thức hệ số nguyen f(x) thỏa mãn 16f(x²) = [f(2x)]² với mọi x thuộc R
• Bài 2: Cho đa thức f(x) bậc lớn hơn 1; hệ số nguyên, (m;n) =1. 
•  Chứng minh: f(m+n) chia hết cho mn <=> f(m) chia hết cho n và f(n) chia hết cho m
• Bài 3: Cho f(x) và h(x) hệ số nguyên thỏa mãn : g(x³) + xh(x³) chia hết cho x² + x+1. Chứng minh g(x) và h(x) chia hết cho x - 1

Answer 1

[Mr Lazy]

Đăng mấy bài này trên đây khó nhận được đáp án lắm! Nên đăng trên một số diễn đàn nhiều pro như:

Diễn đàn Toán học

Diễn Đàn MathScope

.......

Bài 1.

+TH1: Đa thức có bậc là 0

\(f\left(x\right)=a\text{ }\left(a\in R\right)\forall x\in R\)

Theo đề ra: \(16a^2=a^2\Rightarrow a=0\)

Vậy \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\)

+TH2: Đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Giả sử đa thức có bậc n.

Gọi hệ số cao nhất của đa thức là \(a_n\text{ }\left(a_n\ne0\right)\)

Từ giả thiết, suy ra: \(16a_n^2=\left(2a_n\right)^2\Leftrightarrow16a_n^2=4a_n^2\Leftrightarrow a_n=0\text{ (vô lí)}\)

Vậy điều giả sử sai, hay không có đa thức nào thỏa mãn.

Vậy chỉ có \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\) thỏa mãn để bài.