Question

[Valentine]

Trong n số a1, a2, a3, ... , an ( với n \(\in N\)* ) mỗi số chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1 thỏa mãn a1a2 + a2a3 + a3a4 + ... + ana1 = 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.

Answer 1

[Nguyễn Tường Vy]

Ta có :n số hạng :a1 ;a2 ; a3 ; ... ; an-1 ;an chỉ nhận các giá trị bằng 1 hoặc -1                                                                                                Suy ra :Các tích :a1a2 ; a2a3 ; ...; ana1 chỉ nhận các giá trị bằng 1 hoặc -1                                                                                                      Mà a1a2+a2a3+a3a4+...+ana1=0                                                                                                                                                                        Suy ra  các số hạng trong dãy có giá trị bằng 1 và -1 là bằng nhau                                                                                                                    Mà dãy có n số hạng                                                                                                                                                                                       Suy ra có n/2 số hạng có giá trị bằng -1                                                                                                                                                          Lại có : (a1a2)(a2a3)(a3a4)...(ana1)=(a1a2a3...an)(a1a2a3...an)=1>0                                                                                                Chứng tỏ n/2 số hạng có giá trị bằng -1 là số chẵn                                                                                                                               Suy ra n/2 chia hết cho 2                                                                                                                                                                               Suy ra n chia hết cho 4                                                                                                                                                                                 Vậy n chia hết cho 4