Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Hai vectơ \(\overrightarrow u {\rm{ }}\)và \(\overrightarrow {{M_o}M} \)cùng phương với nhau.
b) Xét \(M\left( {x;y} \right)\). Vì cùng phương với nên có số thực t sao cho \(\overrightarrow {{M_o}M} = t\overrightarrow u {\rm{ }}\)
c) Do \(\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) nên:
\(\overrightarrow {{M_o}M} = t\overrightarrow u {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_o} = at\\y - {y_o} = bt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_o} + at\\y = {y_o} + bt\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm M là: \(M\left( {{x_o} + at;{y_o} + bt} \right)\)
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\)
\( M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow n \)
Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\) (ĐPCM).
a) Do \(\overrightarrow {OA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow u \) nên tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} = \left( {a;b} \right)\). Vậy tọa độ điểm A là: \(A\left( {a;b} \right)\)
b) TỌa độ điểm H là \(H\left( {a;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {OH} = \left( {a;0} \right)\). Do đó, \(\overrightarrow {OH} = a\overrightarrow i \)
c) TỌa độ điểm K là \(K\left( {0;b} \right)\) nên \(\overrightarrow {OK} = \left( {0;b} \right)\). Do đó, \(\overrightarrow {OK} = b\overrightarrow j \)
d) Ta có: \({\rm{ }}\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} {\rm{ }} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \) (đpcm)
a) Ta có vectơ \(\overrightarrow {OM} \) biểu diễn theo hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) là: \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)
b) Do tọa độ hai điểm A và B là: \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\) nên ta có:\(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A},{y_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B},{y_B}} \right)\)
Vậy \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{x_A} + {x_B};{y_A} + {y_B}} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
Tọa độ điểm M chính là tọa độ của vectơ nên tọa độ M là \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.\)
a) Ta có: \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)
Mà H là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\Delta \) nên \(H{M_0} \bot \Delta \)
Mặt khác vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) cùng vuông góc với \(\Delta \)
Suy ra \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương (đpcm)
b) Ta có: \(\overrightarrow n = (a;b)\) và \(\overrightarrow {H{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)
Suy ra \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} = a\left( {{x_0} - {x_H}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_H}} \right) = a{x_0} + b{y_0} - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\) (1)
Mà H thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình đường thẳng \(\Delta \)
Thay tọa độ điểm H vào phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) ta có:
\(a{x_H} + b{y_H} + c = 0 \Leftrightarrow c = - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)
Thay \(c = - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\) vào (1) ta có
\(p = a{x_0} + b{y_0} + c\) (đpcm)
c) Ta có: \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} \Leftrightarrow \overrightarrow {H{M_0}} = \frac{p}{{\overrightarrow n }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\frac{p}{{\overrightarrow n }}} \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)
a) Tọa độ vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là:
Tọa độ vecto chỉ phương của \(\Delta \) là:
b) Chọn \(x = 0;x = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;2} \right)\)
a) Gọi \(M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {a - 2;b - 3} \right)\)
Tọa độ vecto \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 2} \right)\)
Để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 4\\b - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 1\end{array} \right.\)
Vậy để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \) thì tọa độ điểm M là:\(M\left( {6;1} \right)\)
b) Gọi \(N\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {NC} = \left( {3 - x, - 1 - y} \right)\)và \(\overrightarrow {AN} = \left( {x - 2,y - 3} \right)\)
Do N là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3 - x\\y - 3 = - 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = 1\end{array} \right.\) . Vậy \(N\left( {\frac{5}{2},1} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = \left( { \frac{7}{2};0} \right)\) và \(\overrightarrow {NM} = \left( {\frac{{ 7}}{2};0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM} \)
\(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = (b; - a)\)
M và \({M_0}\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương
\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = b\\{y_0} - y = - a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - b\\y = {y_0} + a\end{array} \right.\)
Suy ra \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)
Thay tọa độ điểm M vào phương trình \(ax + by + c = 0\) ta có:
\(a\left( {{x_0} - b} \right) + b\left( {{y_0} + a} \right) + c = \left( { - ab + ba} \right) + \left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0\) (đúng vì \( - a{x_0} - b{y_0} = c\))
Vậy \(M(x;y)\) thỏa mãn phương trình đã cho
a) Phương của hai vecto \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.
b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\)
Xét điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \Delta \). Vì \(\overrightarrow {{M_o}M} \bot \overrightarrow n \) nên: \(\overrightarrow {{M_o}M} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a{x_o} + b{y_o} = 0\)