Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng α : x + + z - 4 = 0 , mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 6 z + 18 = 0  và điểm M 1 ; 1 ; 2 ∈ α . Đường thẳng d đi qua M và nằm trong mặt phẳng α  cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho dây cung AB có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

A. u 1 ⇀ = 2 ; - 1 ; - 1

B.  u 1 ⇀ = 1 ; 1 ; - 2

C.  u 1 ⇀ = 1 ; - 2 ; 1

D.  u 1 ⇀ = 0 ; 1 ; - 1

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm I(4;3;3) và bán kính R = 4. Gọi I’ là hình chiếu của I trên mặt phẳng α .

Đường thẳng I I ' đi qua I(4;3;3) và nhận n = ⇀ 1 ; 1 ; 1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

 

Tọa độ điểm I’ thỏa mãn hệ

 

⇔ t = - 2 . Suy ra I’(2;1;1).

Gọi hình tròn (C) bán kính r là thiết diện của khối cầu (S) khi cắt bởi mặt phẳng  α . Khi đó I’ là tâm của đường tròn (C).

Ta có I M = 14 < 4 = R  và M ∈ α  nên điểm M thuộc miền trong của đường tròn (C) (M nằm trong hình trong hình tròn).

Do đường thẳng d ⊂ α , d đi qua M và d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B nên d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B.

Phương tích của điểm M với đường tròn (C): M A . M B = r 2 - I ' M 2 .

Do r không đổi nên r 2 - I ' M 2 không đổi ⇒ M A . M B  không đổi.

Lại có

Dấu “=” xảy ra khi MA = MB hay A B ⊥ M I ' .

Mà  A B ⊥ M I ' nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là   u ⇀ = I I ' ; ⇀ M I ' ⇀ = 2 ; - 4 ; 2 (cùng phương với vectơ u 2 ⇀ )