Question

[tth_new]

Toán tuổi thơ xin ra thêm 1 số báo mới. Các bạn tham gia nha! Để tăng sự hứng thú giải toán, mình sẽ tăng giải thưởng lên gấp  đôi lần trước. Có giải nhất và nhì

  Bài toán:Cho a, b , c là các số chính phương. Chứng minh rằng:

     (a - b)(b - c) (c - a) \(⋮\)12.

Chúc các bạn may mắn!

Answer 1

[Đào Trọng Luân]

vì a,b,c là các số chính phương nên a,b,c sẽ thuộc dạng 3k, 3k+1 hoặc 4k,4k+1

* nếu a = 3k, b = 3h+1,c = 3n hoặc 4k, 4h+1, 4n

=> c - a chia hết cho 3 và 4

Mà [3,4] = 1

=> [a-b][b-c][c-a] chia hết cho 12

* nếu a = 3k, b = 3h+1,c = 3n+1 hoặc 4k, 4h+1, 4n+1

=> b - c chia hết cho 3 và 4

=> [a-b][b-c][c-a] chia hết cho 12

* nếu a = 3k, b = 3h,c = 3n+1 hoặc 4k, 4h, 4n+1

=> a-b chia hết cho 3 và 4

=> [a-b][b-c][c-a] chia hết cho 12

và với một số trường hợp khác, a - b, b-c hoặc c-a sẽ chia hết cho 3 và 4

Vậy [a-b][b-c][c-a] chia hết cho 12 với a,b,c là các scp 

Answer 2

[Songoku Sky Fc11]

trong 4 số abcd có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 3

trong 4 số abcd nếu có 2 số cùng số dư khi chia cho 4 thì hiệu 2 số đó sẽ chia hết cho 4

nếu 0 thi 4 số dư theo thứ tự 0.1.2.3 \(\Leftrightarrow\)trong bốn số abcd có 2 số chẵn 2 số lẻ

hiệu của hai số chẵng và 2 số lẻ trong 4 số đó chia hết cho 2

=>tích trên chia 3 và 4