Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhân 2 vế với \(\left(x-\sqrt{2011+x^2}\right)\) ta được:
\(\left(x^2-2011-x^2\right)\left(y+\sqrt{2011+y^2}\right)=2001\left(x-\sqrt{2011+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2011\left(y+\sqrt{2011+y^2}\right)=2011\left(x-\sqrt{2011+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{2011+y^2}=\sqrt{2011+x^2}-x\)(1)
Tương tự nhân 2 vế với \(\left(y-\sqrt{2011+y^2}\right)\) ta được:
\(x+\sqrt{2011+x^2}=\sqrt{2011+y^2}-y\)(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(x+y=-x-y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\)
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Rightarrow T=-y^{2011}+y^{2011}=0\)
Lời giải:
Sử dụng liên hợp
Dễ thấy \(x\neq \sqrt{x^2+2011}; y\neq \sqrt{y^2+2011}\)
PT ban đầu: \((x+\sqrt{x^2+2011})(y+\sqrt{y^2+2011})=2011(*)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2-(x^2+2011)}{x-\sqrt{x^2+2011}}.\frac{y^2-(y^2+2011)}{y-\sqrt{y^2+2011}}=2011\)
\(\Leftrightarrow \frac{2011^2}{(x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})}=2011\)
\(\Rightarrow (x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})=2011(**)\)
Lấy \((*)-(**)\) thu được:
\(2x\sqrt{y^2+2011}+2y\sqrt{y^2+2011}=0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+2011}=-y\sqrt{x^2+2011}(***)\)
Bình phương hai vế:
\(x^2(y^2+2011)=y^2(x^2+2011)\)
\(\Leftrightarrow 2011x^2=2011y^2\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x-y=0\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào $(***)$ suy ra ngay $x=y=0$ suy ra \(x+y=0\)
Tóm lại trong mọi TH thì $x+y=0$
\(x+\sqrt{x^2+2011}=\frac{2011}{y+\sqrt{y^2+2011}}=\sqrt{y^2+2011}-y\) ( 1 )
tương tự: \(y+\sqrt{y^2+2011}=\sqrt{x^2+2011}-x\) ( 2 )
từ ( 1 ) và ( 2 ): \(\Rightarrow x+y+\sqrt{x^2+2011}+\sqrt{y^2+2011}\)
\(=\sqrt{x^2+2011}+\sqrt{y^2+2011}-\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)0\)
\(\Rightarrow x+y=0\)
Giả sử z là số lớn nhất trong 3 số
Từ đề bài ta có:
\(\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2013}-\sqrt{y+2012}=\sqrt{z+2012}-\sqrt{z+2011}+\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}=\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}+\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\)
Ta lại có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}\\\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z
Tương tự cho trường hợp x lớn nhất với y lớn nhất.
fdy 'rshniytguo;yhuyt65edip;ioy86fo87ogtb eubuiltgr6sdwjhytguyh8 ban oi bai nay mac kho giai vao cut sit
Nhân 2 vế với \(\sqrt{x^2+2011}-x\) ta được:
\(y+\sqrt{y^2+2011}=\sqrt{x^2+2011}-x\) (1)
Nhân 2 vế với \(\sqrt{y^2+2011}-y\) ta được:
\(x+\sqrt{x^2+2011}=\sqrt{y^2+2011}-y\) (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được:
\(x+y=-x-y\) \(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)