Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=lim\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{1}=lim\left[n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)\right]=+\infty.2=+\infty\)
\(B=lim\frac{8^3.64^n-9.27^n}{4^4.64^n+5^3.25^n}=\frac{8^3-9.\left(\frac{27}{64}\right)^n}{4^4+5^3\left(\frac{25}{64}\right)^n}=\frac{8^3}{4^4}=2\)
\(1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4}...\) là dãy cấp số nhân lùi vô hạn có \(u_1=1\) và \(q=-\frac{1}{2}\)
Do \(\left|q\right|< 1\) nên theo công thức tổng cấp số nhân:
\(S_n=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
a) \(\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}} = \lim \frac{{5 + \frac{1}{n}}}{2} = \frac{{5 + 0}}{2} = \frac{5}{2}\)
b) \(\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}} = \lim \frac{{6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{5 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{{6 + 0 + 0}}{{5 + 0}} = \frac{6}{5}\)
c) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{6 + \frac{2}{n}}} = \frac{{\sqrt {1 + 0 + 0} }}{{6 + 0}} = \frac{1}{6}\)
d) \(\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \lim 2 - \lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 2 - 0 = 0\)
e) \(\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{4} = \frac{{1 + 0}}{4} = \frac{1}{4}\)
g) \(\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}\)
Ta có \(\lim \left( {2 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 2 + \lim \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2 > 0;\lim {3^n} = + \infty \Rightarrow \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}} = 0\)
a/ Không phải dạng vô định thì cứ thay trực tiếp vào thôi
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\frac{\sqrt{x^2+60}-2x^2}{x^2-1}\right)=\frac{\sqrt{2^2+60}-2.2^2}{2^2-1}=0\)
b/ Bạn có viết nhầm mẫu số ko? Đề bài thế này hoàn toàn ko chặt chẽ
Số hạng tổng quát \(\frac{1}{4n^2}\) đâu có đúng với 2 số hạng đầu trong dãy?
Dù sao thì, nếu tử số và mẫu số có cùng số số hạng là \(2n\) thì vẫn tính được dựa vào giới hạn kẹp
\(1+2+3+...+2n=\frac{2n\left(n+1\right)}{2}\)
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}< 1+1+1+...+1=2n\)
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n^2}>\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}+...+\frac{1}{2n^2}=2n.\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{2.2n}\right)< lim\left(\frac{1+2+3+...+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}}\right)< lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{\frac{1}{n}}\right)\)
Mà \(lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{2.2n}\right)=lim\left(n+\frac{1}{2}\right)=+\infty\)
\(lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{\frac{1}{n}}\right)=lim\left(2n^2\left(2n+1\right)\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow lim\left(\frac{1+2+3+...+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}}\right)=+\infty\)
16.
\(y'=\frac{\left(cos2x\right)'}{2\sqrt{cos2x}}=\frac{-2sin2x}{2\sqrt{cos2x}}=-\frac{sin2x}{\sqrt{cos2x}}\)
17.
\(y'=4x^3-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
18.
\(y'=3x^2-2x\)
\(y'\left(-2\right)=16;y\left(-2\right)=-12\)
Pttt: \(y=16\left(x+2\right)-12\Leftrightarrow y=16x+20\)
19.
\(y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}\)
\(y''=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}\)
20.
\(\left(cotx\right)'=-\frac{1}{sin^2x}\)
21.
\(y'=1+\frac{4}{x^2}=\frac{x^2+4}{x^2}\)
22.
\(lim\left(3^n\right)=+\infty\)
11.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0}=-\infty\)
12.
\(y=cotx\Rightarrow y'=-\frac{1}{sin^2x}\)
13.
\(y'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}.\left(x^3-2x^2\right)'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}\left(3x^2-4x\right)\)
14.
\(y'=\frac{\left(4x^2+3x+1\right)'}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}\)
15.
\(y'=4\left(x-5\right)^3\)
\(M=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{x}{2}-1\right)}}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{x}{2}}}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{x}{4}}}\) (tách tương tự như trên)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{4}}=\sqrt{cos^2\frac{x}{8}}=cos\frac{x}{8}\)
\(\Rightarrow n=8\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^{2016}+x-2}{\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{2016x^{2015}+1}{\frac{1009}{\sqrt{2018x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x+2018}}}=\frac{2017}{\frac{1009}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{2\sqrt{2019}}}=2\sqrt{2019}\)
Để hàm liên tục tại \(x=1\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow k=2\sqrt{2019}\)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^2+ax+b}{x^2-1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+1=0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{2x+a}{2x}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-1\\\frac{a+2}{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=1\)
3.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2+2-\sqrt[3]{7x+1}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{7\left(x-1\right)}{\sqrt[3]{\left(7x+1\right)^2}+2\sqrt[3]{7x+1}+4}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{7}{\sqrt[3]{\left(7x+1\right)^2}+2\sqrt[3]{7x+1}+4}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{3}{4}-\frac{7}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}}{12}\)
\(\Rightarrow a+b+c=1+12+0=13\)
\(=lim\frac{3+\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{7+\frac{1}{n}-\frac{8}{n^2}}=\frac{3}{7}\)
\(=lim-3n^3\left(1-\frac{5}{3n^2}+\frac{2}{3n^3}\right)=-\infty\)
\(=lim\frac{\left(\frac{3}{7}\right)^n+4}{3-2.\left(\frac{1}{7}\right)^n}=\frac{4}{3}\)
Câu này đề thiếu, giới hạn của x nên nó là giới hạn của hàm chứ ko phải giới hạn của dãy, mà giới hạn của hàm thì cần chỉ rõ x tiến tới bao nhiêu mới tính được
\(=lim\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n-1}{\left(\frac{2}{3}\right)^n+4}=-\frac{1}{4}\)
Bài 1. Ta có:
\(\begin{array}{l} S = \sum\limits_{k = 1}^n {{x^{2k}}} + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{{x^{2k}}}} + 2n} \\ = {x^2}\dfrac{{1 - {x^{2n}}}}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}.\dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{x^{2n}}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}}} + 2n\\ = \dfrac{{\left( {1 - {x^{2n}}} \right)\left( {{x^{2n + 2}} - 1} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right){x^{2n}}}} + 2n \end{array}\)
Bài 2.
Ta có:
\(\begin{array}{l} T = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\left( 1 \right)\\ \dfrac{1}{2}T = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{3}{{{2^3}}} + \dfrac{5}{{{2^4}}} + ... + \dfrac{{2n - 3}}{{{2^n}}} + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\left( 2 \right) \end{array}\)
\((1)-(2)\)\(\Rightarrow \dfrac{1}{2}T = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{{{2^2}}} + \dfrac{2}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{2}{{{2^n}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = 2\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right]\\ = 1 + \dfrac{{{2^{n - 1}} - 1}}{{{2^{n - 2}}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} \end{array}\)
\(S=x^2+\frac{1}{x^2}+2+x^4+\frac{1}{x^4}+2+...+x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}+2\)
\(=\left(x^2+x^4+...+x^{2n}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^{2n}}\right)+2n\)
\(=x^2.\frac{\left(x^2\right)^{n-1}-1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2}.\frac{\left(\frac{1}{x^2}\right)^{n-1}-1}{\frac{1}{x^2}-1}+2n\)
\(=\frac{x^{2n}-x^2}{x^2-1}+\frac{x^{2-2n}-1}{1-x^2}+2n\)
\(T=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+...+\frac{2n-3}{2^{n-1}}+\frac{2n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow2T=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^{n-1}}\)
\(\Rightarrow T=1+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+...+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}\)
\(T=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{2n-1}{2^n}\)
\(T=1+1.\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-1}{\frac{1}{2}-1}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n-1}}\)