NN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
Áp dụng công thức
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+..+n\right)^2\)(1)
Để c/m công thức này ta dùng PP quy nạp
Với n=1 và n=2 (1) luôn đúng
Giả sử n=k thì (1) đúng khi đó
\(A=\left(1+2+3+...+k\right)^2=\left[\frac{k\left(1+k\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(k+k^2\right)^2}{4}\)
Ta cần c/m với n=k+1 thì (1) cũng đúng
Với n=k+1
\(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\)
\(=\left\{\frac{\left(k+1\right)\left[1+\left(k+1\right)\right]}{2}\right\}^2=\left\{\frac{\left[\left(k+1\right)+\left(k+1\right)^2\right]}{2}\right\}^2=\)
\(=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\) (*)
Mà
\(1^3+2^3+3^3+...+k+\left(k+1\right)=\left[\left(1^3+2^3+3^3+...+k^3\right)+\left(k+1\right)^3\right]=\)
\(=\frac{\left(k+k^2\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\) (**)
Ta cần chứng minh (*)=(**) tức là
\(\frac{\left(k+k^2\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\left(k+k^2\right)^2-\left(k^2+3k+2\right)=-4\left(k+1\right)^3\)
\(VT=\left[\left(k+k^2\right)-\left(k^2+3k+2\right)\right]\left[\left(k+k^2\right)+\left(k^2+3k+2\right)\right]=\)
\(=-\left(2k+2\right)\left(2k^2+4k+2\right)=-4\left(k+1\right)\left(k+1\right)^2=-4\left(k+1\right)^3=VP\)
Vậy theo nguyên lý của PP quy nạp (1) đúng
\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(1+n\right)}{2}\right]^2\)
Bạn áp dụng công thức
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)