Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)
4A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)
=> 4A=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+...+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]
=1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1).n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)
4A+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n4+6.n3+11.n2+6n+1=(n2+3n+1)2
=>\(\sqrt{4A+1}\)=n2+3n+1
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát:
\(\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}=\frac{1}{n(n+1)}.\frac{2n+1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}.\frac{n+(n+1)}{n(n+1)}\)
\(=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)
Do đó:
\(S=\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+....+\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}\)
\(=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)
\(=1-\frac{1}{(n+1)^2}\)
Đặt A=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)
=>3A=(3−0).1.2+(4−1).2.3+...+(n+2−n+1).n(n+1)
=>3A=1.2.3−0.1.2+2.3.4−1.2.3+...+n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)
=>3A=n(n+1)(n+2)
=>A=n(n+1)(n+2):3(đpcm)
đặt tổng này là S
ta có:
3S=3[1.2+2.3+...+(n-2)(n-1)+(n-1)n]
3S=1.2.3+2.3.3+...+(n-2)(n-1).3+(n-1)n.3
3S=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+(n-2)(n-1)[(n+3)-n]+(n-1).n.[(n-1)+(4-n)]
3S=1.2.3+2.3.4-1.2.3+...+(n-2)(n-1)(n+3)-(n-2)(n-1)n+n(n-1)+n(4-n)
3S=n(n-1)[(n-2)(n-1)(n+3)+n(4-n)]
S=n(n-1)[(n-2)(n-1)(n+3)+n(4-n)]:3