QG
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
18 tháng 8 2019
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
18 tháng 8 2019
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
N
27 tháng 7 2016
<=>\(\left(x-19\right)-2\sqrt{x-19}+1+\left(y-7\right)+4\sqrt{y-7}+4\)+\(+\left(z-1997\right)-6\sqrt{z-1997}+9=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-19}=1\\\sqrt{y-7}=2\\\sqrt{z-1997}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=20\\y=11\\z=2006\end{cases}}}\)
vay...
28 tháng 7 2016
\(\Leftrightarrow\left(x-19\right)2\sqrt{x-19}+1+\left(y-7\right)+4+\left(z-1997\right)+9=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-19}=1\\\sqrt{y-7}=2\\\sqrt{z-1997}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=20\\y=11\\z=2006\end{cases}}\)
Chúc bạn học tốt!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2019
Bài 2:
Với $x,y,z$ nguyên dương ta thấy:
\((x+y)^2+3x+y+1> (x+y)^2(1)\)
Và:
\((x+y)^2+3x+y+1< (x+y)^2+4(x+y)+4\)
hay $(x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2(2)$
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y)^2< (x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2\)
Theo nguyên lý kẹp suy ra $z^2=(x+y+1)^2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay vào PT ban đầu:
\((2x)^2+3x+x+1=z^2\Leftrightarrow (2x+1)^2=z^2\Rightarrow 2x+1=z\) (không có TH $2x+1=-z$ do $x,z$ cùng nguyên dương)
Vậy PT có nghiệm $(x,y,z)=(m,m,2m+1)$ với $m$ là số nguyên dương bất kỳ.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2019
Lời giải:
Xét
PT \(\Leftrightarrow x^3=y^3+2y^2+3y+1\)
Ta thấy:
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3+3y^2+3y+1)-y^2=(y+1)^3-y^2\leq (y+1)^3(1)\)
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3-3y^2+3y-1)+5y^2+2=(y-1)^3+5y^2+2\)
\(>(y-1)^3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (y+1)^3\geq y^3+2y^2+3y+1> (y-1)^3\)
\(\Leftrightarrow (y+1)^3\geq x^3> (y-1)^3\)
Theo nguyên lý kẹp thì \(\left[\begin{matrix} x^3=(y+1)^3\\ x^3=y^3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x^3=(y+1)^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=(y+1)^3\)
\(\Leftrightarrow y=0\)
\(\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\)
Nếu \(x^3=y^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=y^3\)
\(\Leftrightarrow 2y^2+3y+1=0\Leftrightarrow (2y+1)(y+1)=0\Rightarrow y=-1\) (do $y$ nguyên)
$\Rightarrow x^3=y^3=-1\Rightarrow x=-1$
Vậy $(x,y)=(1,0); (-1,-1)$
ML
30 tháng 7 2016
Đề gốc là \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
\(\frac{P}{4}=\frac{x}{2.2\sqrt{y}}+\frac{y}{2.2\sqrt{z}}+\frac{z}{2.2\sqrt{x}}\)
Áp dụng BĐT Côsi:
\(2.2.\sqrt{x}\le x+2^2=x+4\)
\(\Rightarrow\frac{P}{4}\ge\frac{x}{y+4}+\frac{y}{z+4}+\frac{z}{x+4}=\frac{x^2}{xy+4x}+\frac{y^2}{yz+4y}+\frac{z^2}{zx+4z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx+4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+4\left(x+y+z\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)+12}\)
\(=3-\frac{36}{x+y+z+12}\ge3-\frac{36}{12+12}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\)
16 tháng 8 2019
Tham khảo tại đây: Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến