Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK:\(x,y,z\ge \frac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2x+2y+2z-\sqrt{4x-1}-\sqrt{4y-1}-\sqrt{4z-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy: \(VT\ge0\forall x,y,z\)
\("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
ĐK \(x,y,z\geq \frac{1}{4}\)
\(\text{HPT}\Rightarrow 2(x+y+z)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\sqrt{4x-1}=\sqrt{(4x-1).1}\leq \frac{4x-1+1}{2}=2x\)
Tương tự với các biểu thức còn lại.....
\(\Rightarrow \sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\leq 2(x+y+z)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 4x-1=1\\ 4y-1=1\\ 4z-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\\ z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy HPT có nghiệm \((x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)
DK : \(x,y,z\ge\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có :
\(2x+2y+2z-\sqrt{4x-1}-\sqrt{4y-1}-\sqrt{4z-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)\)
\(+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy : \(VT\ge0\forall x,y,z\)
" = " \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
ĐK: \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
hệ pt <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}2x+2y=2\sqrt{4z-1}\\2y+2z=2\sqrt{4x-1}\\2z+2x=2\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
=> \(4x+4y+4z=2\sqrt{4z-1}+2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}\)
<=> \(\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
<=> \(\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}4x-1=1\\4y-1=1\\4z-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)(tm đk)
Thử vào thỏa mãn.
Vậy...
+ \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=4\Rightarrow x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)
+ \(x+1=x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)\)
+ Tương tự : \(y+1=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\); \(z+1=\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
+ \(P=\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)^2}\cdot\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}\)
\(=2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=2\)
a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:
\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)
P/s: Không chắc cho lắm ạ.
Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,
Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6
Help meeee, please!
thanks nhiều
Điều kiện \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
Cộng các phương trình trong hệ được :
\(2\left(x+y+z\right)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y+z\right)=2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Từ đó thay vào yêu cầu đề bài để tính.
Cách 2: sử dụng BĐT
Ta có: \(1.\sqrt{4z-1}\le\frac{1}{2}\left(1+4z-1\right)=2z\)
\(\Rightarrow x+y\le2z\) (1)
Tương tự ta có: \(y+z\le2x\) (2) ; \(z+x\le2y\) (3)
Cộng vế với vế (1) và (2) \(\Rightarrow2y\le x+z\) (4)
Từ (3); (4) \(\Rightarrow2y=x+z\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(2z=x+y\) ; \(2x=y+z\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt ban đầu: \(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
ĐKXĐ: ...
Lần lượt trừ vế với vế của từng pt ta được hệ mới:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}\\y-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4y-1}\\x-y=\sqrt{4y-1}-\sqrt{4x-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=\frac{4\left(z-x\right)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\\y-z=\frac{4\left(z-y\right)}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\\x-y=\frac{4\left(y-x\right)}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\right)=0\\\left(y-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\right)=0\\\left(x-y\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu:
\(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow4x^2=4x-1\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)