Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Vì \(x:y:z=2:3:\left(-4\right)\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-4}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-4}=\frac{x-y+z}{2-3+-4}=\frac{-125}{-5}=25\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{2}=25\\\frac{y}{3}=25\\\frac{z}{-4}=25\end{cases}\)\(\Rightarrow\)\(\begin{cases}x=50\\y=75\\z=-100\end{cases}\)
Vậy x=50;y=75;z=-100
d)Vì 2x=3y\(\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Rightarrow\frac{x}{21}=\frac{y}{14}\)(1)
5y=7z\(\Rightarrow\frac{y}{7}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{y}{14}=\frac{z}{10}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\Rightarrow\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}=\frac{3x}{63}=\frac{7y}{98}=\frac{5z}{50}=\frac{3x-7y+5z}{63-98+50}=\frac{30}{15}=2\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{21}=2\\\frac{y}{14}=2\\\frac{z}{10}=2\end{cases}\)\(\Rightarrow\)\(\begin{cases}x=42\\y=28\\z=20\end{cases}\)
Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản
Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)
\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\)
Cộng theo từng vế
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow1\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)
Ta có : \(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số :
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có: \(1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\)
=> \(x+y+z\ge1\)
Có: \(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z =1/3
Vậy min A = 1/2 <=> x = y = z = 1/3
Lời giải:
Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$
$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$
Cộng theo vế và thu gọn:
$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$
Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Lời giải:
Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$
$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$
Cộng theo vế và thu gọn:
$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$
Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)
\(\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{y+z+t+x}{z+t+x}=\frac{z+t+x+y}{t+x+y}=\frac{t+x+y+z}{x+y+z}\)
- Xét \(x+y+z+t\ne0\Rightarrow x=y=z=t\)
Khi đó \(P=1+1+1+1=4\)
- Xét \(x+y+z+t=0\Rightarrow\begin{cases}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{cases}\)
Khi đó \(P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)
ms đúng \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
Ta co:
\(3=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le3=x^2+y^2+z^2\)
Xet
\(\left(x^2+y+z\right)\left(1+y+z\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2\Rightarrow x^2+y+z\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1+y+z}\)
\(\Rightarrow VT\le\Sigma_{cyc}\frac{x\left(1+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Bạn xem lời giải tương tự tại đây:
Câu hỏi của Phạm Nguyễn Cẩm Tú - Toán lớp 7 | Học trực tuyến