Question

[Đức Huy ABC]

Tìm x, y, z nguyên tố thỏa mãn: xyz < xy + yz + zx.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Từ BPT suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>1\)

Nếu \(x,y,z\geq 3\rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 1\) ( vô lý)

Do đó trong ba số phải tồn tại ít nhất một số bằng 2.

TH1: Cả ba số bằng $2$ (thỏa mãn)

TH2: Có hai số bằng $2$ thì số còn lại luôn thỏa mãn với mọi số nguyên tố.

TH3: Chỉ có một số bằng $2$, các số còn lại lớn hơn $2$ . Giả sử đó là $x$ . Khi đó:

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\)

Nếu \(y,z\geq 5\rightarrow \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{2}{5}<\frac{1}{2}\) (vô lý)

Do đó phải tồn tại ít nhất một số bằng $3$

Nếu \(y=z=3\) thì luôn thỏa mãn.

Nếu \(y=3,z>3\Rightarrow \frac{1}{z} > \frac{1}{6}\rightarrow 3< z<6\rightarrow z=5\)

Vậy ........

Answer 2

[tạ thị nhung]

x=2;y=3;z=5 nhe ban !