Question

[Pham Trong Bach]

Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 1 + x + 4 1 - x = m + 1 2 2 + x - 2 2 - x + 16 - 8 m  có nghiệm trên 0 ; 1   

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Phương trình tương đương với   4 4 x + 1 4 x = 4 ( m + 1 ) 2 x - 1 2 x + 16 - 8 m  

⇔ 4 x + 1 4 x = ( m + 1 ) 2 x - 1 2 x + 4 - 2 m (1)

Đặt 2 x - 1 2 x = t → 4 x + 1 4 x = t 2 + 2 . Xét hàm số t ( x ) = 2 x - 1 2 x  trên 0 ; 1 .

Đạo hàm t ' ( x ) = 2 x . ln 2 + ln 2 2 x > 0 , ∀ x ∈ 0 ; 1 ⇒  Hàm số t (x) luôn đồng biến trên [0;1]. Suy ra m i n x ∈ [ 0 ; 1 ] t ( x ) = t ( 0 ) = 0  và m a x x ∈ [ 0 ; 1 ] t ( x ) = t ( 1 ) = 3 2 . Như vậy t ∈ 0 ; 3 2 .

Phương trình (1) có dạng: t 2 + 2 = ( m + 1 ) t + 4 - 2 m ⇔ t 2 - ( m + 1 ) t + 2 m = 0  

⇔ ( t - 2 ) t + 1 - m = 0 ⇔ t = 2 ∉ 0 ; 3 2 t = m - 1

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ 0 ; 1 ⇔  phương trình ẩn t có nghiệm

t ∈ 0 ; 3 2 ⇔ 0 ≤ m - 1 ≤ 3 2 ⇔ 1 ≤ m ≤ 5 2 . Mà m ∈ ℤ nên m ∈ 1 ; 2  . Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 3.