Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử trong 100 số đó không có 2 số nào bằng nhau.
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(< 1+\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\)
\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=1+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=19< 20\)
Vậy trong 100 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử 100 số nguyên dương đã cho ko tồn tại \(x_i=x_k\)
Ko mất tính tổng quát giả sử \(x_1< x_2< x_3< ...< x_{100}\)
Vì \(x_1;x_2;x_3;...;x_{100}\) đều là các số nguyên dương suy ra \(x_1\ge1;x_2\ge2;....;x_{100}\ge100\)
Tức là có: \(VT< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 10< VP\)
Mâu thuẫn với giả thiết suy ra điều giả sử sai
Tức tồn tại \(x_i=x_k\) với \(i\ne k\) và \(i,k\in\left\{1;2;...;100\right\}\)
\(U_n=\dfrac{2}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-4}}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\left(n-2\right)+\left(n+2\right)+2\cdot\sqrt{n+2}\sqrt{n-2}}}\\ =\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}\\ =\dfrac{\left(n+2\right)-\left(n-2\right)}{\sqrt{2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}\right)}=\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{0}+\sqrt{5}-\sqrt{1}+...+\sqrt{22}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\\ =\dfrac{\sqrt{19}+\sqrt{20}+\sqrt{21}+\sqrt{22}-\sqrt{0}-\sqrt{1}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)