Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2.
ĐK: $x\geq \frac{-11}{2}$
$x+\sqrt{2x+11}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2x+11}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2=2x+11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2-2x-11=0(*)\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'(*)=12\)
\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{12}=1\pm 2\sqrt{3}\). Với điều kiện của $x$ suy ra $x=1-2\sqrt{3}$
$\Rightarrow a=1; b=-2\Rightarrow ab=-2$
Bài 1.
Đặt $x^2+2x=t$ thì PT ban đầu trở thành:
$t^2-t-m=0(1)$
Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì:
Trước tiên PT(1) cần có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta (1)=1+4m>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{4}(*)$
Với mỗi nghiệm $t$ tìm được, thì PT $x^2+2x-t=0(2)$ cần có 2 nghiệm $x$ phân biệt.
Điều này xảy ra khi $\Delta '(2)=1+t>0\Leftrightarrow t>-1$
Vậy ta cần tìm điều kiện của $m$ để (1) có hai nghiệm $t$ phân biệt đều lớn hơn $-1$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (t_1+1)(t_2+1)>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -m+1+1>0\\ 1+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(**)\)
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{-1}{4}< m< 2$
b)
Để pt ban đầu vô nghiệm thì PT(1) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm $t$ đều nhỏ hơn $-1$
PT(1) vô nghiệm khi mà $\Delta (1)=4m+1<0\Leftrightarrow m< \frac{-1}{4}$
Nếu PT(1) có nghiệm thì $t_1+t_2=1>-2$ nên 2 nghiệm $t$ không thể cùng nhỏ hơn $-1$
Vậy PT ban đầu vô nghiệm thì $m< \frac{-1}{4}$
c) Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta (1)=1+4m=0\\ \Delta' (2)=1+t=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{4}\\ t=-1\end{matrix}\right.\).Mà với $m=-\frac{1}{4}$ thì $t=\frac{1}{2}$ nên hệ trên vô lý. Tức là không tồn tại $m$ để PT ban đầu có nghiệm duy nhất.
d)
Ngược lại phần b, $m\geq \frac{-1}{4}$
e)
Để PT ban đầu có nghiệm kép thì PT $(2)$ có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi $\Delta' (2)=1+t=0\Leftrightarrow t=-1$
$t=-1\Leftrightarrow m=(-1)^2-(-1)=2$
ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)
Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(\Rightarrow x^2=1-t^2\)
Phương trình trở thành: \(1-t^2+t=m\Leftrightarrow-t^2+t+1=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+t+1\) trên \(\left[0;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)
\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}\) ; \(f\left(1\right)=1\)
\(\Rightarrow1\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{4}\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(1\le m\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow S=\dfrac{9}{4}\)
Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\)
\(t\ge\sqrt{x-1+5-x}=2\)
\(t\le\sqrt{2\left(x-1+5-x\right)}=2\sqrt{2}\)
\(t^2=4+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=\dfrac{t^2-4}{2}\)
Pt trở thành:
\(t+\dfrac{3\left(t^2-4\right)}{2}=m\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}t^2+t-6=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{3}{2}t^2+t-6\) với \(t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{3}\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=6+2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow2\le f\left(t\right)\le6+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2\le m\le6+2\sqrt{2}\)
ĐKXĐ: \(x^2-2mx+m^2-3m+2>0\)
\(\dfrac{x}{\sqrt{x^2-2mx+m^2-3m+2}}=\sqrt{x^2-2mx+m^2-3m+2}\)
- Với \(x< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT< 0\\VP>0\end{matrix}\right.\) pt vô nghiệm
- Với \(x\ge0\)
\(\Rightarrow x=x^2-2mx+m^2-3m+2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(2m+1\right)x+m^2-3m+2=0\) (1)
+ Với \(m^2-3m+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)
\(m=1\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\) có 2 nghiệm (ktm)
\(m=2\Rightarrow x^2-5x=0\Rightarrow x=\left\{0;5\right\}\) ktm
+ Với \(m^2-3m+2\ne0\)
\(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\left(1\right)\) có đúng 1 nghiệm dương
\(\Rightarrow x_1x_2=m^2-3m+2< 0\)
\(\Rightarrow1< m< 2\)
Đáp án của toi:https://hoc24.vn/cau-hoi/tim-tat-ca-cac-gia-tri-cua-tham-so-m-de-bat-phuong-trinh-sau-co-nosqrt2xsqrt4-x-sqrt82x-x2le-m.920223129881
Đáp án của một bạn khác: https://hoc24.vn/cau-hoi/tim-tat-ca-cac-gia-tri-cua-tham-so-m-de-bat-phuong-trinh-sau-co-nosqrt2xsqrt4-x-sqrt82x-x2le-m.616555176629
ĐK: \(-2\le x\le4\)
Đặt \(\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x}=t\left(\sqrt{6}\le t\le2\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{8+2x-x^2}=\dfrac{t^2-6}{2}\)
Bất phương trình tương đương:
\(t+\dfrac{t^2-6}{2}\le m\)
\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-6\le2m\)
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(2m\ge minf\left(t\right)=f\left(\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\sqrt{6}\)
Kết luận: \(m\ge\sqrt{6}\)