Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Với $I$ là trung điểm của $BC$ thì \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})\)
\(=2\overrightarrow{AI}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) (đpcm)
b) Gọi giao điểm của $AG$ với $BC$ là $T$
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}\)
\(=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GI}\)
Theo tính chất đường trung tuyến thì \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}\) nên:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Câu 1:
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
Từng sau em hạn chế đăng nhiều bài cùng một lúc như thế này nhé.
Bài 1:
Ta có: \(a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\((a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{4(a-b)(b+1)^2}{4(a-b)(b+1)^2}}=4\)
\(\Rightarrow a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\geq 4-1\)
\(\Leftrightarrow a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a-b=\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\)
\(\Leftrightarrow a=2; b=1\)
Bài 2:
Đặt \(\left(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right)\mapsto (x,y,z)\Rightarrow xyz=1\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{xy+yz+xz}{xyz}=xy+yz+xz(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(y^2+z^2\geq 2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)
\(z^2+x^2\geq 2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
Do đó (*) đúng, ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài 3:
Ta có: \(\text{VT}=(\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}})+(\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}})\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq (\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a})^2\)
\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{abc}}}=3(2)\) do $abc=1$
Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)