Question

[Trần Hải An]

Tìm tất cả các số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn:

\(x^{2007}=y^{2007}-y^{1338}-y^{669}+2\)

Answer 1

[Trần Hải An]

Đặt \(u=x^{669}\); \(v=y^{669}\left(u,v\in Z\right)\)thì PT ( 1 ) có dạng \(u^3=v^3-v^2-v+2\).

Nhận thấy:

\(u^3=v^3-v^2-v+2=\left(v-1\right)^3+2\left(v-1\right)^2+1>\left(v-1\right)^3\)và \(u^3=v^3-\left(v-1\right).\left(v+2\right)\)

+ Nếu \(v>1\)hoặc \(v< -2\)thì \(\left(v-1\right)\left(v+2\right)>0\), suy ra: \(\left(v-1\right)^3< u^3< v^3\Leftrightarrow v-1< u< v\), điều này không thể xảy ra khi \(u,v\in Z.\)

+ Với \(-2\le v\le1\)và \(v\in Z\)thì \(v\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

Nếu \(v=-2\)thì \(y^{669}=-2\), nên \(y\notin Z.\)

Nếu \(v=-1\)thì \(u=1\), suy ra: \(x=-1;y=1\)

Nếu \(v=0\)thì \(u=2\), suy ra: \(x^{669}=2\), nên \(x\notin Z.\)

Nếu \(v=1\)thì \(u=1\), suy ra: \(x=y=1.\)

Vậy các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn ( 1 ) là ( 1 ; 1 ) và ( 1 ; -1 ).

Answer 2

[Phương Trình Hai Ẩn]

hay đúng là An trần có khác